Um caminhão carregado de melancias pára de repente para evitar ultrapassar a beirada de uma ponte quebrada. A parada rápida faz com que várias melancias voem para fora do caminhão. Uma melancia rola para fora da beirada com uma velocidade escalar inicial vi=10,0 m/s na direção horizontal. Uma seção transversal da ladeira tem a forma da metade inferior de uma parábola com seu ponto mais alto na beira da estrada, e é descrita pela equação y^2=16x, em que x e y são medidos em metros. Quais são as coordenadas x e y da melancia quando ela atinge a ladeira?
A
Aluno
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28/04/24

Question

Um caminhão carregado de melancias pára de repente para evitar ultrapassar a beirada de uma ponte quebrada. A parada rápida faz com que várias melancias voem para fora do caminhão. Uma melancia rola para fora da beirada com uma velocidade escalar inicial vi=10,0 m/s na direção horizontal. Uma seção transversal da ladeira tem a forma da metade inferior de uma parábola com seu ponto mais alto na beira da estrada, e é descrita pela equação y^2=16x, em que x e y são medidos em metros. Quais são as coordenadas x e y da melancia quando ela atinge a ladeira?

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28/04/24

Accepted Answer

Para encontrar as coordenadas $x$ e $y$ da melancia quando ela atinge a ladeira, precisamos resolver o problema em duas partes: primeiro, encontramos o tempo que a melancia leva para atingir a ladeira; depois, usamos esse tempo para determinar a posição horizontal ($x$) da melancia. Como a ladeira tem a forma da metade inferior de uma parábola descrita pela equação $y^2 = 16x$, podemos usar essa relação para encontrar a posição vertical ($y$) correspondente à posição horizontal ($x$).

### Passo 1: Encontrar o Tempo de Queda

Como a melancia é lançada horizontalmente com uma velocidade inicial de $v_i = 10,0 \, \text{m/s}$ e não há aceleração horizontal (desconsiderando a resistência do ar), podemos calcular o tempo de queda ($t$) usando a equação do movimento sob gravidade:

$$y = \frac{1}{2}gt^2$$

Onde:
- $y$ é a altura da qual a melancia cai,
- $g$ é a aceleração devido à gravidade ($9,8 \, \text{m/s}^2$).

Como a equação da parábola é dada por $y^2 = 16x$, e precisamos de $y$ em termos de $x$ para relacionar com o tempo, vamos reorganizar a equação para obter $y$ em função de $x$:

$$y = \sqrt{16x} = 4\sqrt{x}$$

No entanto, para encontrar o tempo de queda, precisamos primeiro determinar a distância horizontal ($x$) que a melancia percorre, o que depende do tempo de queda. Isso parece um pouco circular, mas na verdade, precisamos de uma abordagem diferente para relacionar diretamente a distância horizontal percorrida com o tempo, já que inicialmente não sabemos a altura ($y$) da queda.

### Passo 2: Determinar a Posição Horizontal ($x$)

A posição horizontal ($x$) pode ser encontrada pela velocidade horizontal constante:

$$x = v_i t$$

### Passo 3: Relacionar $x$ com $y$ e Resolver

Como não temos informações diretas sobre a altura da ponte ou a distância até a ladeira, precisamos de uma abordagem baseada na trajetória parabólica, que neste caso, é a própria forma da ladeira.

Para uma solução mais precisa, precisaríamos saber a altura da qual a melancia cai para usar a equação do movimento para encontrar o tempo de queda. Sem essa informação, assumimos que a pergunta se refere a calcular onde na parábola ($y^2 = 16x$) a melancia atinge baseando-se na sua trajetória de voo.

Se considerarmos a trajetória da melancia como um projétil, seu alcance horizontal ($x$) ao atingir uma altura específica na parábola pode ser complexo de determinar sem especificar a altura de lançamento. A equação da parábola nos dá a relação entre $x$ e $y$, mas sem uma altura inicial clara ou um tempo de voo, não podemos aplicar diretamente as equações padrão de movimento de projéteis.

Dado que a questão pede as coordenadas $x$ e $y$ sem fornecer uma altura de queda ou mais contexto sobre a altura da ponte, parece haver uma confusão no enunciado ou uma falta de informação necessária para calcular diretamente essas coordenadas com as fórmulas de movimento de projéteis.

Em um cenário real, com a velocidade inicial horizontal e a equação da parábola, calcularíamos primeiro o tempo de queda com base na altura de lançamento (se conhecida) e então usaríamos isso para encontrar $x$ e consequentemente $y$. Sem esses dados, especificamente a altura de lançamento, podemos apenas estabelecer a relação geral entre essas variáveis, não uma solução numérica específica.