um corpo de prova cilíndrico de uma liga de titânio com módulo de elasticidade de 107GPa e diâmetro original de 3,8 mm apresentará apenas deformação elástica quando a carga de tração de 2000 N for aplicada. Calcule o comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação se o alongamento máximo admissível é de 0,42 mm
J
Juan
26/11/24

Question

um corpo de prova cilíndrico de uma liga de titânio com módulo de elasticidade de 107GPa e diâmetro original de 3,8 mm apresentará apenas deformação elástica quando a carga de tração de 2000 N for aplicada. Calcule o comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação se o alongamento máximo admissível é de 0,42 mm

J

Juan

26/11/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos usar a fórmula da deformação elástica e a lei de Hooke. A deformação elástica ($\Delta L$) é dada pela fórmula:

$$
\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot E}
$$

onde:
- $F$ é a força aplicada (2000 N),
- $L_0$ é o comprimento original do corpo de prova,
- $A$ é a área da seção transversal do corpo de prova,
- $E$ é o módulo de elasticidade (107 GPa).

Primeiro, calculamos a área da seção transversal do corpo de prova cilíndrico:

$$
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2
$$

Substituindo o diâmetro $d = 3,8 \, \text{mm} = 0,0038 \, \text{m}$:

$$
A = \pi \left(\frac{0,0038}{2}\right)^2 = \pi \left(0,0019\right)^2 \approx 1,13 \times 10^{-5} \, \text{m}^2
$$

Agora, substituímos os valores na fórmula da deformação elástica e resolvemos para $L_0$:

$$
0,42 \, \text{mm} = \frac{2000 \, \text{N} \cdot L_0}{1,13 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \cdot 107 \times 10^9 \, \text{Pa}}
$$

Convertendo $0,42 \, \text{mm}$ para metros:

$$
0,42 \, \text{mm} = 0,00042 \, \text{m}
$$

Substituindo e rearranjando para $L_0$:

$$
L_0 = \frac{0,00042 \, \text{m} \cdot 1,13 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \cdot 107 \times 10^9 \, \text{Pa}}{2000 \, \text{N}}
$$

$$
L_0 \approx \frac{0,00042 \cdot 1,13 \times 10^{-5} \cdot 107 \times 10^9}{2000}
$$

$$
L_0 \approx \frac{5,0466 \times 10^2}{2000}
$$

$$
L_0 \approx 0,2523 \, \text{m} = 252,3 \, \text{mm}
$$

Portanto, o comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação é de aproximadamente **252,3 mm**.

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