Um determinado motor elétrico tem, no início do acionamento, uma aceleração em seu rotor que vai de zero a 10π rad/s em 2 segundos, mantendo a rotação constante a partir desse momento.

Nessas condições, responda ao que se pede.
a) Depois que a velocidade de rotação é estabilizada, qual é a frequência, em rpm, do rotor?
b) Qual é o número de rotações que o rotor executou durante a fase de aceleração?

Question

Um determinado motor elétrico tem, no início do acionamento, uma aceleração em seu rotor que vai de zero a 10π rad/s em 2 segundos, mantendo a rotação constante a partir desse momento.

Nessas condições, responda ao que se pede.
a) Depois que a velocidade de rotação é estabilizada, qual é a frequência, em rpm, do rotor?
b) Qual é o número de rotações que o rotor executou durante a fase de aceleração?

Accepted Answer

Vamos resolver a questão passo a passo:

---

### Dados fornecidos:
- Velocidade angular inicial ($ \omega_0 $): $ 0 \, \text{rad/s} $
- Velocidade angular final ($ \omega_f $): $ 10\pi \, \text{rad/s} $
- Tempo de aceleração ($ t $): $ 2 \, \text{s} $

---

### a) Qual é a frequência, em rpm, do rotor?

1. **Cálculo da velocidade angular final em rad/s**  
   A velocidade angular final já foi dada como $ \omega_f = 10\pi \, \text{rad/s} $.

2. **Conversão para frequência em rotações por segundo (rps):**  
   Sabemos que:
   $$
   f = \frac{\omega}{2\pi}
   $$
   Substituindo $ \omega_f = 10\pi $:
   $$
   f = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 \, \text{rps}
   $$

3. **Conversão de rps para rpm:**  
   Para converter de rps para rpm (rotações por minuto), multiplicamos por 60:
   $$
   f_{\text{rpm}} = 5 \times 60 = 300 \, \text{rpm}.
   $$

**Resposta da letra a: 300 rpm.**

---

### b) Qual é o número de rotações que o rotor executou durante a fase de aceleração?

1. **Cálculo da aceleração angular ($ \alpha $):**  
   A aceleração angular ($ \alpha $) é dada por:
   $$
   \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   \alpha = \frac{10\pi - 0}{2} = 5\pi \, \text{rad/s}^2.
   $$

2. **Cálculo do deslocamento angular ($ \theta $):**  
   O deslocamento angular durante a fase de aceleração pode ser calculado pela fórmula:
   $$
   \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2
   $$
   Como $ \omega_0 = 0 $, temos:
   $$
   \theta = \frac{1}{2} \alpha t^2
   $$
   Substituindo $ \alpha = 5\pi $ e $ t = 2 $:
   $$
   \theta = \frac{1}{2} (5\pi) (2^2) = \frac{1}{2} (5\pi) (4) = 10\pi \, \text{rad}.
   $$

3. **Conversão de radianos para rotações:**  
   Sabemos que uma rotação completa equivale a $ 2\pi \, \text{rad} $. Assim, o número de rotações é dado por:
   $$
   N = \frac{\theta}{2\pi}
   $$
   Substituindo $ \theta = 10\pi $:
   $$
   N = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 \, \text{rotações}.
   $$

**Resposta da letra b: 5 rotações.**

---

### Resumo das respostas:
**a)** $ 300 \, \text{rpm} $  
**b)** $ 5 \, \text{rotações} $