Um estudante pretende observar inteiramente uma árvore de 10,80 $ \mathrm{m} $ de altura, usando um espelho plano de $ 80,0 \mathrm{~cm} $. O estudante consegue seu objetivo quando o espelho está colocado a 5,0 m de distância da árvore.

A distância mínima entre o espelho e o estudante é:

Question

Um estudante pretende observar inteiramente uma árvore de 10,80 $\mathrm{m}$ de altura, usando um espelho plano de $80,0 \mathrm{~cm}$ . O estudante consegue seu objetivo quando o espelho está colocado a 5,0 m de distância da árvore.

A distância mínima entre o espelho e o estudante é:

A distância mínima entre o espelho e o estudante é:

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos aplicar os princípios da óptica geométrica, especificamente a lei da reflexão em espelhos planos. Vamos considerar as distâncias e alturas envolvidas.

Primeiro, sabemos que a altura da árvore é $ h_t = 10,80 \, \mathrm{m} $ e a altura do espelho é $ h_e = 0,80 \, \mathrm{m} $. A distância entre a árvore e o espelho é $ d_t = 5,0 \, \mathrm{m} $.

A condição para que o estudante veja a árvore inteira no espelho é que a imagem da árvore esteja completamente contida na altura do espelho. Isso implica que a altura da imagem refletida deve ser igual à altura da árvore, mas vista através do espelho.

Vamos usar a semelhança de triângulos para determinar a distância mínima entre o espelho e o estudante $ d_s $. O triângulo formado pela árvore e sua imagem no espelho é semelhante ao triângulo formado pelo espelho e a linha de visão do estudante.

Seja $ d_s $ a distância do estudante ao espelho. A altura da árvore $ h_t $ e a altura do espelho $ h_e $ formam dois triângulos semelhantes:

$$
\frac{h_t}{d_t + d_s} = \frac{h_e}{d_s}
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
\frac{10,80 \, \mathrm{m}}{5,0 \, \mathrm{m} + d_s} = \frac{0,80 \, \mathrm{m}}{d_s}
$$

Resolvendo essa equação para $ d_s $:

$$
10,80 \, \mathrm{m} \cdot d_s = 0,80 \, \mathrm{m} \cdot (5,0 \, \mathrm{m} + d_s)
$$

$$
10,80 \, \mathrm{m} \cdot d_s = 4,0 \, \mathrm{m} + 0,80 \, \mathrm{m} \cdot d_s
$$

$$
10,80 \, \mathrm{m} \cdot d_s - 0,80 \, \mathrm{m} \cdot d_s = 4,0 \, \mathrm{m}
$$

$$
10,00 \, \mathrm{m} \cdot d_s = 4,0 \, \mathrm{m}
$$

$$
d_s = \frac{4,0 \, \mathrm{m}}{10,00 \, \mathrm{m}}
$$

$$
d_s = 0,40 \, \mathrm{m}
$$

Portanto, a distância mínima entre o espelho e o estudante é de $ 0,40 \, \mathrm{m} $ ou 40 cm.

Um estudante pretende observar inteiramente uma árvore de 10...

Um estudante pretende observar inteiramente uma árvore de 10,80 $\mathrm{m}$ de altura, usando um espelho plano de $80,0 \mathrm{~cm}$ . O estudante consegue seu objetivo quando o espelho está colocado a 5,0 m de distância da árvore.

A distância mínima entre o espelho e o estudante é:

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