Um fabricante observa que t meses após o lançamento de um novo produto no mercado, x(t)=t² +3t centenas de unidades podem ser produzidas e vendidas por um preço unitário p(t)=2t2/3+30 reais. Nesse contexto, a função receita é dada por R(t)=(t2+3t).(-2t3/2+30) centenas de reais. Verifique a que taxa a receita está variando em relação ao tempo quatro meses após o lançamento do produto e assinale a alternativa correta:
A.
4 centenas de reais por mês.

B.
10 centenas de reais por mês.

C.
8 centenas de reais por mês.

D.
3 centenas de reais por mês.

E.
14 centenas de reais por mês.

Question

Um fabricante observa que t  meses após o lançamento de um novo produto no mercado, x(t)=t² +3t centenas de unidades podem ser produzidas e vendidas por um preço unitário​​​​​​​  p(t)=2t2/3+30 reais. Nesse contexto, a função receita é dada por R(t)=(t2+3t).(-2t3/2+30) centenas de reais. Verifique a que taxa a receita está variando em relação ao tempo quatro meses após o lançamento do produto e assinale a alternativa correta:​​​​​​​​​​​​​​ 
A. 
 4 centenas de reais por mês.

B. 
 10 centenas de reais por mês.

C. 
 8 centenas de reais por mês.

D. 
 3 centenas de reais por mês.

E. 
 14 centenas de reais por mês.

Accepted Answer

Para determinar a taxa de variação da receita em relação ao tempo, precisamos calcular a derivada da função receita $ R(t) $ e avaliá-la em $ t = 4 $.

A função receita é dada por:

$$ R(t) = (t^2 + 3t) \left(-\frac{2t}{3} + 30\right) $$

Primeiro, vamos expandir essa expressão:

$$ R(t) = (t^2 + 3t) \left(-\frac{2t}{3} + 30\right) = t^2 \left(-\frac{2t}{3} + 30\right) + 3t \left(-\frac{2t}{3} + 30\right) $$

$$ R(t) = -\frac{2t^3}{3} + 30t^2 - 2t^2 + 90t $$

$$ R(t) = -\frac{2t^3}{3} + 28t^2 + 90t $$

Agora, calculamos a derivada $ R'(t) $:

$$ R'(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{2t^3}{3} + 28t^2 + 90t\right) $$

$$ R'(t) = -2t^2 + 56t + 90 $$

Agora, substituímos $ t = 4 $ na derivada para encontrar a taxa de variação da receita quatro meses após o lançamento:

$$ R'(4) = -2(4)^2 + 56(4) + 90 $$

$$ R'(4) = -2(16) + 224 + 90 $$

$$ R'(4) = -32 + 224 + 90 $$

$$ R'(4) = 282 $$

Assim, a taxa de variação da receita quatro meses após o lançamento do produto é 282 centenas de reais por mês.

**Resposta: E**

A taxa de variação correta é 282 centenas de reais por mês, mas como não há alternativa correspondente, parece haver um erro nas alternativas fornecidas.