Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma das cachoeiras da cidade de Bonito. Planejam utilizar uma barraca feita de tecido impermeável no formato de pirâmide regular quadrangular, com medidas da aresta de base de 2m e altura 2m.

Considerando que a barraca deve isolar o grupo de toda umidade, inclusive a proveniente do solo, quantos metros quadrados de tecido são necessários?

A
43–√
B
4(3–√+1)
C
4(1+45–√)
D
45–√
E
80−−√+4

Question

Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma das cachoeiras da cidade de Bonito. Planejam utilizar uma barraca feita de tecido impermeável no formato de pirâmide regular quadrangular, com medidas da aresta de base de 2m e altura 2m.

Considerando que a barraca deve isolar o grupo de toda umidade, inclusive a proveniente do solo, quantos metros quadrados de tecido são necessários?

A
43–√
B
4(3–√+1)
C
4(1+45–√)
D
45–√
E
80−−√+4

Accepted Answer

Para determinar a quantidade de tecido necessária, precisamos calcular a área total da superfície da barraca, que inclui a base e as quatro faces laterais.

1. **Área da base**: A base da pirâmide é um quadrado com lado de 2 metros. Portanto, a área da base é:
   $$
   A_{\text{base}} = 2 \times 2 = 4 \, \text{m}^2
   $$

2. **Área das faces laterais**: Cada face lateral é um triângulo isósceles. Precisamos calcular a altura de cada triângulo lateral para encontrar sua área.

- Primeiro, calculamos a apótema (altura do triângulo lateral) usando o teorema de Pitágoras. A apótema é a altura do triângulo lateral, e a metade da aresta da base é a base do triângulo retângulo formado.
   - Metade da aresta da base é $1 \, \text{m}$.
   - A altura da pirâmide é $2 \, \text{m}$.

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, a apótema e metade da aresta da base:
   $$
   \text{apótema}^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5
   $$
   $$
   \text{apótema} = \sqrt{5}
   $$

- Agora, calculamos a área de um triângulo lateral:
   $$
   A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \times \text{apótema}}{2} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \, \text{m}^2
   $$

- Como há quatro triângulos laterais, a área total das faces laterais é:
   $$
   A_{\text{lateral}} = 4 \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \, \text{m}^2
   $$

3. **Área total da barraca**: Somamos a área da base e das faces laterais:
   $$
   A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 4 + 4\sqrt{5}
   $$

**Resposta: C**

A quantidade de tecido necessária é $4(1 + \sqrt{5})$ metros quadrados.

Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma da...

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