um grupo de amigos se reuniu em um restaurante. pelo almoço, o restaurante cobrou 240,00 reais. na hora de pagar a conta, quatro dos amigos constataram que nao tinham dinheiro para contribuir com a despesa. por causa disso, cada uma das demais pessoas foi obrigada a pagar 5,00 a mais do que pagaria se todos participassem da divisão do valor total.
mostre-me uma conta que representa o valor a ser pago por pessoa se todos contribuíssem igualmente e o número de pessoas que participarão do rateio da conta usando equação do 2° grau

Question

um grupo de amigos se reuniu em um restaurante. pelo almoço, o restaurante cobrou 240,00 reais. na hora de pagar a conta, quatro dos amigos constataram que nao tinham dinheiro para contribuir com a despesa. por causa disso, cada uma das demais pessoas foi obrigada a pagar 5,00 a mais do que pagaria se todos participassem da divisão do valor total.
mostre-me uma conta que representa o valor a ser pago por pessoa se todos contribuíssem igualmente e o número de pessoas que participarão do rateio da conta usando equação do 2° grau

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

1. **Definição das variáveis:**
   - $ x $: Número total de amigos.
   - $ y $: Valor que cada amigo pagaria se todos contribuíssem igualmente.

2. **Equação inicial:**
   Se todos contribuíssem igualmente, cada amigo pagaria:
   $$
   y = \frac{240}{x}
   $$

3. **Quando quatro amigos não contribuem:**
   O número de amigos que realmente pagam a conta é $ x - 4 $. Cada um desses amigos paga R\$ 5,00 a mais do que pagaria se todos contribuíssem igualmente:
   $$
   y + 5 = \frac{240}{x - 4}
   $$

4. **Substituindo $ y $ na segunda equação:**
   $$
   \frac{240}{x} + 5 = \frac{240}{x - 4}
   $$

5. **Multiplicando ambos os lados da equação por $ x(x - 4) $ para eliminar os denominadores:**
   $$
   240(x - 4) + 5x(x - 4) = 240x
   $$

6. **Expansão e simplificação:**
   $$
   240x - 960 + 5x^2 - 20x = 240x
   $$
   $$
   5x^2 - 20x - 960 = 0
   $$

7. **Dividindo toda a equação por 5 para simplificar:**
   $$
   x^2 - 4x - 192 = 0
   $$

8. **Resolvendo a equação do 2° grau usando a fórmula de Bhaskara:**
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Onde $ a = 1 $, $ b = -4 $ e $ c = -192 $.

$$
   x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192)}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{4 \pm 28}{2}
   $$

9. **Encontrando as raízes:**
   $$
   x_1 = \frac{4 + 28}{2} = 16
   $$
   $$
   x_2 = \frac{4 - 28}{2} = -12
   $$

Como $ x $ representa o número de amigos, não pode ser negativo. Portanto, $ x = 16 $.

10. **Calculando o valor a ser pago por pessoa se todos contribuíssem igualmente:**
    $$
    y = \frac{240}{16} = 15
    $$

Portanto, o número de pessoas que participarão do rateio da conta é 16, e o valor a ser pago por pessoa se todos contribuíssem igualmente é R\$ 15,00.

um grupo de amigos se reuniu em um restaurante. pelo almoço,...

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