Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade de 72 km/h. Determine:
a) as funções horárias do movimento;
b) o tempo de subida;
c) a altura máxima atingida;
d) em t = 3 s, a altura e o sentido do movimento;
e) o instante e a velocidade quando o móvel atinge o solo.
Obs.: Adote g = 10m/s²

Question

Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade de 72 km/h. Determine:
a) as funções horárias do movimento;
b) o tempo de subida;
c) a altura máxima atingida;
d) em t = 3 s, a altura e o sentido do movimento;
e) o instante e a velocidade quando o móvel atinge o solo.
Obs.: Adote g = 10m/s²

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### Dados fornecidos:
- Velocidade inicial ($v_0$) = 72 km/h = 20 m/s (convertendo de km/h para m/s: $ \frac{72}{3.6} $)
- Aceleração da gravidade ($g$) = 10 m/s²
- Posição inicial ($s_0$) = 0 m

### a) Funções horárias do movimento

Para o movimento vertical, temos as seguintes equações:

1. **Função horária da posição**:
   $$
   s(t) = s_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   s(t) = 0 + 20t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2
   $$
   Simplificando:
   $$
   s(t) = 20t - 5t^2
   $$

2. **Função horária da velocidade**:
   $$
   v(t) = v_0 - g t
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   v(t) = 20 - 10t
   $$

### b) Tempo de subida

O tempo de subida é o instante em que a velocidade se torna zero. Usamos a função da velocidade:

$$
v(t) = 20 - 10t
$$

Igualando a zero para encontrar o tempo de subida:

$$
20 - 10t = 0
$$

Resolvendo para $t$:

$$
t = \frac{20}{10} = 2 \text{ segundos}
$$

### c) Altura máxima atingida

A altura máxima é atingida no tempo de subida. Usamos a função horária da posição com $t = 2$:

$$
s(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot (2)^2
$$

Calculando:

$$
s(2) = 40 - 20 = 20 \text{ metros}
$$

### d) Em $t = 3$ s, a altura e o sentido do movimento

Usamos a função horária da posição para encontrar a altura em $t = 3$:

$$
s(3) = 20 \cdot 3 - 5 \cdot (3)^2
$$

Calculando:

$$
s(3) = 60 - 45 = 15 \text{ metros}
$$

Agora, usamos a função horária da velocidade para determinar o sentido do movimento:

$$
v(3) = 20 - 10 \cdot 3
$$

Calculando:

$$
v(3) = 20 - 30 = -10 \text{ m/s}
$$

Como a velocidade é negativa, o móvel está descendo.

### e) Instante e a velocidade quando o móvel atinge o solo

Quando o móvel atinge o solo, a posição $s(t)$ é zero. Usamos a função horária da posição e resolvemos para $t$:

$$
0 = 20t - 5t^2
$$

Fatorando:

$$
0 = t(20 - 5t)
$$

Temos duas soluções:

$$
t = 0 \quad \text{ou} \quad 20 - 5t = 0
$$

Resolvendo para $t$:

$$
5t = 20 \implies t = 4 \text{ segundos}
$$

A velocidade ao atingir o solo é encontrada usando a função horária da velocidade em $t = 4$:

$$
v(4) = 20 - 10 \cdot 4
$$

Calculando:

$$
v(4) = 20 - 40 = -20 \text{ m/s}
$$

Portanto, a velocidade ao atingir o solo é -20 m/s (indicando que o móvel está descendo).

### Resumo das respostas:
a) Funções horárias:
   $$
   s(t) = 20t - 5t^2
   $$
   $$
   v(t) = 20 - 10t
   $$

b) Tempo de subida: 2 segundos

c) Altura máxima: 20 metros

d) Em $t = 3$ s:
   - Altura: 15 metros
   - Sentido do movimento: Descendo (velocidade = -10 m/s)

e) Instante e velocidade ao atingir o solo:
   - Instante: 4 segundos
   - Velocidade: -20 m/s

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