Um objeto luminoso e linear é colocado a 30 cm de orifício de uma câmera escura,obtendo se em sua parede do fundo.uma figura projetada de 12 cm de comprimento. O objeto é, então, afastado, sendo colocado a 120 cm do orifício da câmera. O comprimento da nova figura projetada na parede do fundo da câmera é de ?

Para resolver este problema, utilizamos a relação de semelhança entre triângulos. Na câmera escura, o tamanho da imagem projetada é diretamente proporcional à distância do objeto ao orifício. Podemos usar a fórmula da semelhança de triângulos para encontrar o novo comprimento da imagem projetada.

A fórmula que relaciona as distâncias e os tamanhos das imagens é:

$$\frac{O}{I} = \frac{D_o}{D_i}$$

onde $O$ é o tamanho do objeto, $I$ é o tamanho da imagem projetada, $D_o$ é a distância do objeto ao orifício, e $D_i$ é a distância da imagem projetada ao orifício.

Inicialmente, temos:

• $O = 12 \, \text{cm}$
• $D_o = 30 \, \text{cm}$

Quando o objeto é afastado para 120 cm, queremos encontrar o novo tamanho da imagem projetada $I'$. Vamos chamar o novo tamanho da imagem projetada de $I'$ e a nova distância do objeto de $D_o' = 120 \, \text{cm}$.

Usamos a proporção:

$$\frac{O}{I} = \frac{D_o}{D_i}$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$\frac{12 \, \text{cm}}{I} = \frac{30 \, \text{cm}}{D_i}$$

Primeiro, resolvemos para $D_i$:

$$D_i = \frac{30 \, \text{cm} \cdot I}{12 \, \text{cm}}$$

Como sabemos que a imagem projetada inicialmente tem 12 cm, $I = 12 \, \text{cm}$:

$$D_i = \frac{30 \, \text{cm} \cdot 12 \, \text{cm}}{12 \, \text{cm}} = 30 \, \text{cm}$$

Agora, com o novo valor de $D_o' = 120 \, \text{cm}$, usamos a mesma proporção para encontrar $I'$:

$$\frac{O}{I'} = \frac{D_o'}{D_i}$$ $$\frac{12 \, \text{cm}}{I'} = \frac{120 \, \text{cm}}{30 \, \text{cm}}$$ $$I' = \frac{12 \, \text{cm} \cdot 30 \, \text{cm}}{120 \, \text{cm}}$$ $$I' = \frac{360 \, \text{cm}^2}{120 \, \text{cm}}$$ $$I' = 3 \, \text{cm}$$

Portanto, o comprimento da nova figura projetada na parede do fundo da câmera é de:

$$\boxed{3 \, \text{cm}}$$