Um poliedro convexo de 10 vertices possui 8 faces triangulares e y faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

Question

Um poliedro convexo de 10 vertices  possui 8 faces triangulares e y faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é dada por:

$$ V - A + F = 2 $$

onde $ V $ é o número de vértices, $ A $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Sabemos que:
- $ V = 10 $ (número de vértices)
- Existem 8 faces triangulares e $ y $ faces quadrangulares.

O número total de faces $ F $ é dado por:

$$ F = 8 + y $$

Agora, precisamos calcular o número de arestas $ A $. Cada face triangular contribui com 3 arestas, e cada face quadrangular contribui com 4 arestas. No entanto, cada aresta é compartilhada por duas faces, então devemos dividir o total pela metade:

$$ A = \frac{3 \times 8 + 4 \times y}{2} $$

Substituindo os valores conhecidos na fórmula de Euler:

$$ 10 - \left(\frac{3 \times 8 + 4 \times y}{2}\right) + (8 + y) = 2 $$

Simplificando a equação:

$$ 10 - \frac{24 + 4y}{2} + 8 + y = 2 $$

$$ 18 + y - \frac{24 + 4y}{2} = 2 $$

Multiplicando toda a equação por 2 para eliminar a fração:

$$ 36 + 2y - (24 + 4y) = 4 $$

$$ 36 + 2y - 24 - 4y = 4 $$

$$ 12 - 2y = 4 $$

$$ -2y = 4 - 12 $$

$$ -2y = -8 $$

$$ y = 4 $$

Portanto, o número total de faces $ F $ é:

$$ F = 8 + y = 8 + 4 = 12 $$

**Resposta: 12**

O poliedro possui um total de 12 faces.

Um poliedro convexo de 10 vertices possui 8 faces triangula...

Um poliedro convexo de 10 vertices possui 8 faces triangulares e y faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

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