Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vertices desse poliedro

Question

Accepted Answer

Para calcular o número de vértices de um poliedro convexo, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é:

$$
V - E + F = 2
$$

onde $ V $ é o número de vértices, $ E $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Primeiro, vamos determinar o número total de faces $ F $:

$$
F = 3 + 2 + 4 = 9
$$

Agora, precisamos calcular o número total de arestas $ E $. Vamos contar as arestas considerando cada tipo de face:

- 3 faces com 4 lados: $ 3 \times 4 = 12 $ arestas
- 2 faces com 3 lados: $ 2 \times 3 = 6 $ arestas
- 4 faces com 5 lados: $ 4 \times 5 = 20 $ arestas

Somando todas as arestas, temos:

$$
12 + 6 + 20 = 38
$$

No entanto, cada aresta é compartilhada por duas faces, então o número real de arestas $ E $ é:

$$
E = \frac{38}{2} = 19
$$

Agora, podemos usar a fórmula de Euler para encontrar o número de vértices $ V $:

$$
V - E + F = 2
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
V - 19 + 9 = 2
$$

$$
V - 10 = 2
$$

$$
V = 12
$$

Portanto, o número de vértices desse poliedro é:

$$
\boxed{12}
$$

Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 l...

Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vertices desse poliedro

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