Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Quantas arestas tem esse poliedro?

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é dada por:

$$
V - A + F = 2
$$

onde $ V $ é o número de vértices, $ A $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Sabemos que:
- $ F = 7 $
- De um dos vértices partem 6 arestas.
- De cada um dos vértices restantes partem 3 arestas.

Vamos determinar o número total de vértices $ V $.

Seja $ v_1 $ o vértice do qual partem 6 arestas e $ v_2 $ o número de vértices restantes. Temos:

$$
v_1 + v_2 = V
$$

O número total de arestas partindo dos vértices é dado por:

$$
6 + 3v_2
$$

Como cada aresta é contada duas vezes (uma vez em cada extremidade), o número total de arestas $ A $ é:

$$
A = \frac{6 + 3v_2}{2}
$$

Agora, vamos substituir na fórmula de Euler:

$$
V - A + 7 = 2
$$

Substituindo $ V = 1 + v_2 $ (porque $ v_1 = 1 $) e $ A = \frac{6 + 3v_2}{2} $:

$$
(1 + v_2) - \frac{6 + 3v_2}{2} + 7 = 2
$$

Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:

$$
2(1 + v_2) - (6 + 3v_2) + 14 = 4
$$

Simplificando:

$$
2 + 2v_2 - 6 - 3v_2 + 14 = 4
$$

$$
2v_2 - 3v_2 + 10 = 4
$$

$$
-v_2 + 10 = 4
$$

$$
-v_2 = -6
$$

$$
v_2 = 6
$$

Portanto, o número total de vértices $ V $ é:

$$
V = 1 + v_2 = 1 + 6 = 7
$$

Agora, substituindo $ v_2 = 6 $ na expressão para $ A $:

$$
A = \frac{6 + 3 \cdot 6}{2} = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12
$$

Assim, o número de arestas $ A $ desse poliedro é 12.

Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices par...

Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Quantas arestas tem esse poliedro?

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