um poliedro convexo tem Três Faces triangulares quatro faces quadrangulares e cinco pentagonais Qual o número de vértices desse poliedro? Com calculo simplificado
A
Alex
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02/09/24

Question

um poliedro convexo tem Três Faces triangulares quatro faces quadrangulares e cinco pentagonais Qual o número de vértices desse poliedro? Com calculo simplificado

Accepted Answer

Para encontrar o número de vértices de um poliedro convexo, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos:

$$ V - A + F = 2 $$

onde $ V $ é o número de vértices, $ A $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Neste caso, temos:

- 3 faces triangulares
- 4 faces quadrangulares
- 5 faces pentagonais

Portanto, o número total de faces ($ F $) é:

$$ F = 3 + 4 + 5 = 12 $$

Agora, vamos calcular o número de arestas ($ A $). Cada face triangular tem 3 arestas, cada face quadrangular tem 4 arestas, e cada face pentagonal tem 5 arestas. No entanto, cada aresta é compartilhada por duas faces, então devemos dividir o total por 2:

$$ A = \frac{(3 \times 3) + (4 \times 4) + (5 \times 5)}{2} $$

$$ A = \frac{9 + 16 + 25}{2} $$

$$ A = \frac{50}{2} $$

$$ A = 25 $$

Agora, substituímos na fórmula de Euler:

$$ V - 25 + 12 = 2 $$

$$ V - 13 = 2 $$

$$ V = 15 $$

Portanto, o número de vértices do poliedro é 15.