Um prisma retangular reto tem uma altura de 19cm e uma base que mede 4,1cm por 9,4cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um vértice da base superior forma uma pirâmide . Determine o volume da pirâmide.

Question

Accepted Answer

Para determinar o volume da pirâmide formada pelo plano determinado por uma diagonal da base e um vértice da base superior, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular a área da base do prisma retangular:**

A base do prisma é um retângulo com dimensões $4,1 \, \text{cm}$ por $9,4 \, \text{cm}$. A área da base ($A_b$) é dada por:
$$
A_b = 4,1 \times 9,4 = 38,54 \, \text{cm}^2
$$

2. **Calcular a diagonal da base do prisma:**

A diagonal ($d$) da base pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
$$
d = \sqrt{(4,1)^2 + (9,4)^2}
$$
$$
d = \sqrt{16,81 + 88,36}
$$
$$
d = \sqrt{105,17} \approx 10,25 \, \text{cm}
$$

3. **Determinar a altura da pirâmide:**

A altura da pirâmide é igual à altura do prisma, que é $19 \, \text{cm}$.

4. **Calcular o volume da pirâmide:**

O volume ($V$) de uma pirâmide é dado por:
$$
V = \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura}
$$
Neste caso, a base da pirâmide é a área do triângulo formado pela diagonal da base do prisma e um vértice da base superior. A área desse triângulo ($A_t$) é metade da área do retângulo da base:
$$
A_t = \frac{1}{2} \times A_b = \frac{1}{2} \times 38,54 = 19,27 \, \text{cm}^2
$$

Portanto, o volume da pirâmide é:
$$
V = \frac{1}{3} \times 19,27 \times 19
$$
$$
V = \frac{1}{3} \times 366,13
$$
$$
V \approx 122,04 \, \text{cm}^3
$$

Assim, o volume da pirâmide é aproximadamente $122,04 \, \text{cm}^3$.

Um prisma retangular reto tem uma altura de 19cm e uma base ...

Um prisma retangular reto tem uma altura de 19cm e uma base que mede 4,1cm por 9,4cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um vértice da base superior forma uma pirâmide . Determine o volume da pirâmide.

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