Um projétil é disparado com uma velocidade inicial de 30m/s sob um ângulo de 60° acima do horizonte. Use g = 10m / (s ^ 2) e determine: a) a altura máxima atingida pelo projétil; b) o alcance desse projétil.

Para resolver este problema, precisamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical e utilizar as equações do movimento para cada uma delas.

a) Altura máxima

A altura máxima é atingida quando a componente vertical da velocidade se torna zero. Vamos calcular a componente vertical inicial da velocidade:

$$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) = 30 \cdot \sin(60^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \, \text{m/s}$$

Usamos a fórmula da cinemática para calcular a altura máxima $h_{\text{máx}}$:

$$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g h_{\text{máx}}$$

Como $v_y = 0$ no ponto mais alto:

$$0 = (15\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 10 \cdot h_{\text{máx}}$$ $$0 = 675 - 20 \cdot h_{\text{máx}}$$ $$20 \cdot h_{\text{máx}} = 675$$ $$h_{\text{máx}} = \frac{675}{20} = 33,75 \, \text{m}$$

b) Alcance do projétil

O alcance é a distância horizontal percorrida pelo projétil até ele retornar ao mesmo nível de lançamento. Primeiro, calculamos a componente horizontal da velocidade:

$$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) = 30 \cdot \cos(60^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \, \text{m/s}$$

O tempo de voo total $t$ é o dobro do tempo para atingir a altura máxima. Calculamos o tempo para atingir a altura máxima usando:

$$v_y = v_{0y} - g \cdot t_{\text{máx}}$$ $$0 = 15\sqrt{3} - 10 \cdot t_{\text{máx}}$$ $$10 \cdot t_{\text{máx}} = 15\sqrt{3}$$ $$t_{\text{máx}} = \frac{15\sqrt{3}}{10} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{s}$$

O tempo total de voo é:

$$t = 2 \cdot t_{\text{máx}} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{s}$$

Agora, calculamos o alcance $R$:

$$R = v_{0x} \cdot t = 15 \cdot 3\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \, \text{m}$$

Portanto, os resultados são:

a) A altura máxima atingida pelo projétil é $33,75 \, \text{m}$.

b) O alcance do projétil é $45\sqrt{3} \approx 77,94 \, \text{m}$.