Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0)
e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que
passa pelos vértices B e C é:
a) 7/17
b) 10/23
c) 9/20
d) 12/25

Question

Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0)
e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que
passa pelos vértices B e C é:
a) 7/17
b) 10/23
c) 9/20
d) 12/25

Accepted Answer

Para encontrar a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C, precisamos primeiro determinar as coordenadas do ponto C. Sabemos que o ponto C está na reta $ y = x - 4 $ e que o triângulo ABC é isósceles, ou seja, AC = BC.

Os pontos A e B são dados como $ A = (4, 0) $ e $ B = (0, 6) $.

Primeiro, calculamos a distância AB:

$$
AB = \sqrt{(0 - 4)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
$$

Como o triângulo é isósceles, $ AC = BC $. Vamos considerar o ponto C como $ (x, x-4) $, pois ele está na reta $ y = x - 4 $.

Calculamos a distância AC:

$$
AC = \sqrt{(x - 4)^2 + ((x - 4) - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (x - 4)^2} = \sqrt{2(x - 4)^2} = \sqrt{2}|x - 4|
$$

Calculamos a distância BC:

$$
BC = \sqrt{(x - 0)^2 + ((x-4) - 6)^2} = \sqrt{x^2 + (x - 10)^2}
$$

Igualando as distâncias AC e BC, temos:

$$
\sqrt{2}|x - 4| = \sqrt{x^2 + (x - 10)^2}
$$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$
2(x - 4)^2 = x^2 + (x - 10)^2
$$

Expandindo e simplificando:

$$
2(x^2 - 8x + 16) = x^2 + (x^2 - 20x + 100)
$$
$$
2x^2 - 16x + 32 = 2x^2 - 20x + 100
$$

Cancelando $ 2x^2 $ dos dois lados:

$$
-16x + 32 = -20x + 100
$$

Resolvendo para x:

$$
4x = 68
$$
$$
x = 17
$$

Assim, o ponto C é $ (17, 13) $.

Agora, calculamos a inclinação da reta BC:

A inclinação (m) é dada por:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{13 - 6}{17 - 0} = \frac{7}{17}
$$

**Resposta: a)**

A inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é $ \frac{7}{17} $.

Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é: a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25