Uma bola A é solta do topo de um predio no mesmo instante que uma bola B é lancada verticalmente para cima a partir do solo. Quando as bolas colidem, a velocidade A é o dobro da velocidade de B. Em que fração de altura do predio a colisão ocorre?

Para resolver este problema, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. Vamos considerar a aceleração devido à gravidade ($g$) para baixo como positiva, e vamos definir o sistema de coordenadas com a origem ($y = 0$) no solo e $y$ aumentando para cima.

Seja $H$ a altura total do prédio, $v_B$ a velocidade inicial da bola B para cima, e $t$ o tempo até a colisão. No momento da colisão, a posição das duas bolas será a mesma. Podemos escrever as equações de movimento para cada bola como segue:

Para a bola A (movendo-se para baixo a partir do topo do prédio):

$$y_A = H - \frac{1}{2}gt^2$$

Para a bola B (movendo-se para cima a partir do solo):

$$y_B = v_Bt - \frac{1}{2}gt^2$$

No ponto de colisão, $y_A = y_B$, então:

$$H - \frac{1}{2}gt^2 = v_Bt - \frac{1}{2}gt^2$$

Isso simplifica para:

$$H = v_Bt$$

Agora, vamos considerar as velocidades das bolas no ponto de colisão. Dado que a velocidade da bola A é o dobro da velocidade da bola B no ponto de colisão, temos:

$$v_A = 2v_B$$

A velocidade da bola A no ponto de colisão (descendo) é:

$$v_A = gt$$

E a velocidade da bola B (subindo) é:

$$v_B = v_B - gt$$

Mas sabemos que $v_A = 2v_B$, então substituímos $v_A = gt$:

$$gt = 2(v_B - gt)$$ $$gt = 2v_B - 2gt$$ $$3gt = 2v_B$$

Substituindo $2v_B = 3gt$ em $H = v_Bt$, obtemos:

$$H = \left(\frac{3gt}{2}\right)t = \frac{3}{2}gt^2$$

Agora, vamos encontrar a fração da altura do prédio onde a colisão ocorre. A altura $y$ no momento da colisão para qualquer uma das bolas é:

$$y = H - \frac{1}{2}gt^2$$

Substituindo $H = \frac{3}{2}gt^2$:

$$y = \frac{3}{2}gt^2 - \frac{1}{2}gt^2 = gt^2$$

A fração da altura do prédio onde a colisão ocorre é dada por $\frac{y}{H}$:

$$\frac{y}{H} = \frac{gt^2}{\frac{3}{2}gt^2} = \frac{2}{3}$$

Portanto, a colisão ocorre a $\frac{2}{3}$ da altura do prédio a partir do solo.