Uma bola de futebol que foi lançada verticalmente a partir do 49° andar de um prédio em construção. Considere uma bola de 0,45 kg de massa, diâmetro de 22 cm e coeficiente de arrasto igual a 0,50. Considere ainda, que cada andar do prédio tem 3,5 m de altura e a bola foi lançada com uma velocidade inicial de 5,0 m/s.
(a) (1,0) Qual é a velocidade terminal da bola?
(b) (1,0), qual seria a velocidade da bola ao atingir o solo se não houvesse a força de arrasto?

Question

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

### Parte (a): Velocidade Terminal da Bola

A velocidade terminal $v_t$ é alcançada quando a força de arrasto $F_d$ iguala a força gravitacional $F_g$. A força de arrasto é dada pela fórmula:

$$ F_d = \frac{1}{2} C_d \rho A v^2 $$

onde:
- $C_d$ é o coeficiente de arrasto,
- $\rho$ é a densidade do ar (aproximadamente $1,225 \, \text{kg/m}^3$ ao nível do mar),
- $A$ é a área de seção transversal da bola,
- $v$ é a velocidade.

A força gravitacional é dada por:

$$ F_g = mg $$

onde:
- $m$ é a massa da bola,
- $g$ é a aceleração devido à gravidade ($9,8 \, \text{m/s}^2$).

Na velocidade terminal, $F_d = F_g$:

$$ \frac{1}{2} C_d \rho A v_t^2 = mg $$

Resolvendo para $v_t$:

$$ v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho A}} $$

Primeiro, vamos calcular a área de seção transversal $A$:

$$ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0,22}{2}\right)^2 = \pi (0,11)^2 \approx 0,038 \, \text{m}^2 $$

Agora, substituímos os valores na fórmula de $v_t$:

$$ v_t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,45 \cdot 9,8}{0,50 \cdot 1,225 \cdot 0,038}} $$

$$ v_t = \sqrt{\frac{8,82}{0,023275}} $$

$$ v_t \approx \sqrt{378,95} $$

$$ v_t \approx 19,46 \, \text{m/s} $$

### Parte (b): Velocidade da Bola sem Força de Arrasto

Para encontrar a velocidade da bola ao atingir o solo sem a força de arrasto, utilizamos as equações do movimento uniformemente acelerado. A altura total $h$ do prédio é:

$$ h = 49 \cdot 3,5 = 171,5 \, \text{m} $$

Usamos a equação de Torricelli:

$$ v^2 = v_0^2 + 2gh $$

onde:
- $v_0$ é a velocidade inicial (5,0 m/s),
- $g$ é a aceleração devido à gravidade (9,8 m/s²),
- $h$ é a altura (171,5 m).

Substituindo os valores:

$$ v^2 = 5^2 + 2 \cdot 9,8 \cdot 171,5 $$

$$ v^2 = 25 + 3351,4 $$

$$ v^2 = 3376,4 $$

$$ v \approx \sqrt{3376,4} $$

$$ v \approx 58,12 \, \text{m/s} $$

Portanto, as respostas são:

**(a) 19,46 m/s**

**(b) 58,12 m/s**

Uma bola de futebol que foi lançada verticalmente a partir d...

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