Uma corda homogênea de massa não desprezível e comprimento L é pendurada no teto, sendo mantida na vertical, sustentando apenas seu próprio peso. Se uma perturbação é feita em sua extremidade inferior, o tempo que leva para que essa perturbação se propague até a extremidade superior vale
A) √ L / 2g
B) √ 2 L / g
C) 2 √ L / g
D) √ 7 L / g
E) 3√ L / g

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, consideramos a velocidade de propagação de uma onda em uma corda pendurada, que é dada por:

$$
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
$$

onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda.

Para uma corda pendurada verticalmente, a tensão $ T $ em um ponto a uma distância $ x $ do topo é $ T = \mu g x $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Substituindo na fórmula da velocidade:

$$
v = \sqrt{\frac{\mu g x}{\mu}} = \sqrt{g x}
$$

O tempo $ dt $ necessário para a perturbação percorrer um pequeno segmento $ dx $ é:

$$
dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{g x}}
$$

Para encontrar o tempo total $ t $ para a perturbação se propagar do fundo (onde $ x = L $) até o topo (onde $ x = 0 $), integramos de $ x = 0 $ até $ x = L $:

$$
t = \int_0^L \frac{dx}{\sqrt{g x}}
$$

Fazendo a substituição $ u = \sqrt{x} $, então $ du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $ ou $ dx = 2u \, du $. Quando $ x = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ x = L $, $ u = \sqrt{L} $.

A integral se transforma em:

$$
t = \int_0^{\sqrt{L}} \frac{2u \, du}{\sqrt{g} u} = \frac{2}{\sqrt{g}} \int_0^{\sqrt{L}} du
$$

$$
t = \frac{2}{\sqrt{g}} [u]_0^{\sqrt{L}} = \frac{2}{\sqrt{g}} (\sqrt{L} - 0) = \frac{2\sqrt{L}}{\sqrt{g}} = 2 \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{g}} = 2 \sqrt{\frac{L}{g}}
$$

Portanto, o tempo que a perturbação leva para se propagar da extremidade inferior à superior é:

**Resposta: C**

2√(L/g)

Uma corda homogênea de massa não desprezível e comprimento L...

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