Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

Qual a quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos?

Question

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

Qual a quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos?

Question image: Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

Qual a quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos?

Qual a quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos?

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos encontrar a quantidade máxima de triângulos não congruentes que podem ser formados com 17 palitos, sendo que pelo menos um dos lados deve ter exatamente 6 palitos.

Vamos considerar as possibilidades:

1. **Um lado com 6 palitos:**
   - $6 + x + y = 17$ implica $x + y = 11$.
   - As combinações possíveis para $x$ e $y$ são:
     - $x = 5, y = 6$
     - $x = 4, y = 7$
     - $x = 3, y = 8$
     - $x = 2, y = 9$
     - $x = 1, y = 10$

2. **Dois lados com 6 palitos:**
   - $6 + 6 + z = 17$ implica $z = 5$.

Agora, verificamos quais dessas combinações formam triângulos válidos, respeitando a desigualdade triangular (a soma de dois lados deve ser maior que o terceiro):

- Para $6, 5, 6$: $6 + 5 > 6$, $6 + 6 > 5$, $5 + 6 > 6$ (válido)
- Para $6, 4, 7$: $6 + 4 > 7$, $6 + 7 > 4$, $4 + 7 > 6$ (válido)
- Para $6, 3, 8$: $6 + 3 > 8$, $6 + 8 > 3$, $3 + 8 > 6$ (válido)
- Para $6, 2, 9$: $6 + 2 \not> 9$ (não válido)
- Para $6, 1, 10$: $6 + 1 \not> 10$ (não válido)

Portanto, os triângulos não congruentes possíveis são:

1. Lados: 6, 5, 6
2. Lados: 6, 4, 7
3. Lados: 6, 3, 8

A quantidade máxima de triângulos não congruentes que podem ser construídos é 3.

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fó...

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