Uma empresa que produz dois produtos: A e B deseja obter o maior lucro possível com a
produção dos dois produtos. O produto A é vendido por R$ 5,00 e o produto B por R$ 8,00. Para
produzir os dois produtos é necessário que ambos passem por dois equipamentos E1 e E2. Para
produzir uma unidade do produto A utiliza 20 minutos do equipamento E1 e para a produção de
uma unidade do produto B, 30 minutos. No equipamento E2 o produto A é processado durante
40 minutos e o produto B por 20 minutos. O tempo disponível do equipamento E1 é de 6 horas e E2 de 5 horas. Segundo o departamento comercial, existe demanda para até no máximo 7
unidades do produto B.

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos formular um modelo de programação linear que maximize o lucro da empresa, respeitando as restrições de tempo dos equipamentos e a demanda máxima do produto B.

Vamos definir:

- $ x $: número de unidades do produto A produzidas
- $ y $: número de unidades do produto B produzidas

**Função objetivo:**

Queremos maximizar o lucro total, que é dado por:

$$ Z = 5x + 8y $$

**Restrições:**

1. Tempo disponível no equipamento E1:
   - O produto A utiliza 20 minutos por unidade.
   - O produto B utiliza 30 minutos por unidade.
   - O equipamento E1 tem 6 horas disponíveis, ou seja, 360 minutos.

$$ 20x + 30y \leq 360 $$

2. Tempo disponível no equipamento E2:
   - O produto A utiliza 40 minutos por unidade.
   - O produto B utiliza 20 minutos por unidade.
   - O equipamento E2 tem 5 horas disponíveis, ou seja, 300 minutos.

$$ 40x + 20y \leq 300 $$

3. Demanda máxima para o produto B:
   
   $$ y \leq 7 $$

4. Não negatividade:
   - $ x \geq 0 $
   - $ y \geq 0 $

Agora, vamos resolver o sistema para encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que maximizam o lucro $ Z $.

### Resolução do sistema

Primeiro, transformamos as restrições em equações para encontrar os pontos de interseção:

1. $ 20x + 30y = 360 $
2. $ 40x + 20y = 300 $

Para a primeira equação, dividimos por 10 para simplificar:

$$ 2x + 3y = 36 $$

Para a segunda equação, dividimos por 10:

$$ 4x + 2y = 30 $$

Podemos agora resolver este sistema de equações para encontrar os pontos de interseção.

Multiplicando a primeira equação por 2:

$$ 4x + 6y = 72 $$

Subtraindo a segunda equação:

$$ (4x + 6y) - (4x + 2y) = 72 - 30 $$
$$ 4y = 42 $$
$$ y = 10.5 $$

Substituindo $ y = 10.5 $ na primeira equação:

$$ 2x + 3(10.5) = 36 $$
$$ 2x + 31.5 = 36 $$
$$ 2x = 4.5 $$
$$ x = 2.25 $$

No entanto, $ y $ não pode ser 10.5 pois excede a demanda máxima de 7 unidades. Precisamos verificar outros pontos viáveis dentro das restrições.

### Pontos viáveis

Vamos testar os vértices do polígono formado pelas restrições:

1. $ x = 0 $, $ y = 7 $
2. $ y = 0 $, resolvendo $ 2x + 3y = 36 $ para $ x $:
   - $ 2x = 36 $
   - $ x = 18 $ (não viável devido à restrição de $ y = 0 $)

3. Interseção de $ 2x + 3y = 36 $ e $ y = 7 $:
   - $ 2x + 3(7) = 36 $
   - $ 2x + 21 = 36 $
   - $ 2x = 15 $
   - $ x = 7.5 $

### Cálculo do lucro nos pontos viáveis

1. $ (x, y) = (0, 7) $:
   - $ Z = 5(0) + 8(7) = 56 $

2. $ (x, y) = (7.5, 7) $:
   - Verificando se este ponto é viável nas outras restrições:
     - $ 20(7.5) + 30(7) \leq 360 $
     - $ 150 + 210 = 360 $ (satisfeita)
     - $ 40(7.5) + 20(7) \leq 300 $
     - $ 300 + 140 = 440 $ (não satisfeita)

Portanto, o ponto $ (0, 7) $ é o único viável dentro das restrições e maximiza o lucro.

**Resposta:**

A empresa deve produzir 0 unidades do produto A e 7 unidades do produto B para maximizar o lucro, obtendo um lucro total de R$ 56,00.