Uma escala termométrica $ X $ relaciona-se com a escala Celsius segundo o gráfico apresentado, no qual em ordenadas se representam os valores de $ \theta_{\mathrm{X}} $ (temperaturas expressas na escala $ X $ ) e em abscissas os valores de $ \theta_{C} $ (temperaturas expressas na escala Celsius).
a) Estabeleça a fórmula de conversāo entre as duas escalas.
b) Determine a temperatura registrada por um termômetro graduado na escala $ \mathrm{X} $ quando a temperatura for $ 50^{\circ} \mathrm{C} $.
c) Determine que temperatura registra um termômetro graduado na escala Celsius para um sistema em que o termômetro graduado na escala $ \mathrm{X} $ registra $ 10^{\circ} \mathrm{X} $.
d) Há uma temperatura em que os dois termômetros (graduados na escala $ X $ e na escala Celsius, respectivamente) registram valores que coincidem numericamente. Qual é essa temperatura?

Question

Accepted Answer

Para resolver essas questões, precisamos primeiro definir a relação entre as escalas termométricas $ X $ e Celsius ($ C $). Normalmente, essa relação pode ser expressa por uma equação do tipo linear:

$$ \theta_{X} = a\theta_{C} + b $$

onde $ \theta_{X} $ é a temperatura na escala $ X $, $ \theta_{C} $ é a temperatura na escala Celsius, e $ a $ e $ b $ são constantes que determinam como as duas escalas se relacionam. No entanto, sem os pontos específicos do gráfico mencionado na pergunta, vamos supor um caso genérico onde temos dois pontos conhecidos que permitem encontrar $ a $ e $ b $. Por exemplo, podemos assumir que a escala $ X $ coincide com a Celsius em dois pontos teóricos: o ponto de fusão da água (0°C) e o ponto de ebulição da água (100°C) sob pressão atmosférica normal. Suponhamos que nesses pontos, a escala $ X $ tenha valores de $ x_1 $ e $ x_2 $, respectivamente.

### a) Fórmula de Conversão

Para encontrar a fórmula de conversão, usamos os dois pontos hipotéticos para formar duas equações e resolver para $ a $ e $ b $:

1. $ x_1 = a \cdot 0 + b $ => $ b = x_1 $
2. $ x_2 = a \cdot 100 + x_1 $ => $ a = \frac{x_2 - x_1}{100} $

Então, a fórmula geral seria:

$$ \theta_{X} = \left(\frac{x_2 - x_1}{100}\right)\theta_{C} + x_1 $$

### b) Temperatura na Escala $ X $ para $ 50^{\circ}C $

Substituindo $ \theta_{C} = 50 $ na fórmula geral:

$$ \theta_{X} = \left(\frac{x_2 - x_1}{100}\right)(50) + x_1 $$

### c) Temperatura na Escala Celsius para $ 10^{\circ}X $

Para encontrar $ \theta_{C} $ quando $ \theta_{X} = 10 $, reorganizamos a fórmula de conversão para resolver em termos de $ \theta_{C} $:

$$ \theta_{C} = \frac{\theta_{X} - x_1}{\frac{x_2 - x_1}{100}} $$

E substituímos $ \theta_{X} = 10 $:

$$ \theta_{C} = \frac{10 - x_1}{\frac{x_2 - x_1}{100}} $$

### d) Temperaturas Coincidentes

Para encontrar a temperatura em que os valores coincidem numericamente ($ \theta_{X} = \theta_{C} $), substituímos $ \theta_{X} $ por $ \theta_{C} $ na fórmula de conversão e resolvemos para $ \theta_{C} $:

$$ \theta_{C} = \left(\frac{x_2 - x_1}{100}\right)\theta_{C} + x_1 $$

Para simplificar e resolver essa equação, precisaríamos dos valores específicos de $ x_1 $ e $ x_2 $. Sem esses valores, não podemos fornecer uma solução numérica específica.

**Nota:** As respostas para as partes b), c) e d) dependem dos valores específicos de $ x_1 $ e $ x_2 $, que não foram fornecidos. A metodologia apresentada aqui mostra como abordar o problema, mas sem informações concretas do gráfico mencionado, não podemos calcular respostas numéricas exatas.

Uma escala termométrica e na escala Celsius, respectivament...

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