Uma função afim da forma f(x) = ax + b tem coeficientes reais a e b.

a) Fazendo a = b = 1, escreva a função correspondente e, em seguida, calcule f(0), f(2), f(4) e f(6).

b) As imagens de f do item anterior formam uma progressão? Em caso afirmativo, indique o tipo e a razão dessa progressão.

c) relacione a razão da P.A com os dados fornecidos no item a

d) Se dobrarmos o valor do coeficiente angular, mantendo o valor do coeficiente linear, a progressão aritmética se mantém? Justifique a sua resposta.

Q: Uma função afim da forma f(x) = ax + b tem coeficientes reais a e b. a) Fazendo a = b = 1, escreva a função correspondente e, em seguida, calcule f(0), f(2), f(4) e f(6). b) As imagens de f do item anterior formam uma progressão? Em caso afirmativo, indique o tipo e a razão dessa progressão. c) relacione a razão da P.A com os dados fornecidos no item a d) Se dobrarmos o valor do coeficiente angular, mantendo o valor do coeficiente linear, a progressão aritmética se mantém? Justifique a sua resposta.

Vamos resolver cada item passo a passo. ### a) Fazendo $ a = b = 1 $, escreva a função correspondente e, em seguida, calcule $ f(0) $, $ f(2) $, $ f(4) $ e $ f(6) $. A função afim com $ a = 1 $ e $ b = 1 $ é: \[ f(x) = 1x + 1 \] \[ f(x) = x + 1 \] Agora, vamos calcular os valores solicitados: \[ f(0) = 0 + 1 = 1 \] \[ f(2) = 2 + 1 = 3 \] \[ f(4) = 4 + 1 = 5 \] \[ f(6) = 6 + 1 = 7 \] ### b) As imagens de $ f $ do item anterior formam uma progressão? Em caso afirmativo, indique o tipo e a razão dessa progressão. As imagens calculadas são: $ 1, 3, 5, 7 $. Esses valores formam uma Progressão Aritmética (P.A.), pois a diferença entre termos consecutivos é constante. A razão da P.A. é: \[ r = f(2) - f(0) = 3 - 1 = 2 \] ### c) Relacione a razão da P.A com os dados fornecidos no item a A razão da P.A. é igual ao coeficiente angular $ a $ da função afim. No item a, temos $ a = 1 $. Portanto, a razão da P.A. é $ 1 $. ### d) Se dobrarmos o valor do coeficiente angular, mantendo o valor do coeficiente linear, a progressão aritmética se mantém? Justifique a sua resposta. Se dobrarmos o valor do coeficiente angular $ a $, teremos: \[ a' = 2 \times 1 = 2 \] A nova função será: \[ f'(x) = 2x + 1 \] Vamos calcular os novos valores: \[ f'(0) = 2 \times 0 + 1 = 1 \] \[ f'(2) = 2 \times 2 + 1 = 5 \] \[ f'(4) = 2 \times 4 + 1 = 9 \] \[ f'(6) = 2 \times 6 + 1 = 13 \] Os novos valores são: $ 1, 5, 9, 13 $. Esses valores também formam uma Progressão Aritmética (P.A.), pois a diferença entre termos consecutivos é constante. A nova razão da P.A. é: \[ r' = f'(2) - f'(0) = 5 - 1 = 4 \] Portanto, a progressão aritmética se mantém, mas com uma nova razão que é o dobro da anterior, refletindo o dobro do coeficiente angular $ a $.

Question

Uma função afim da forma f(x) = ax + b tem coeficientes reais a e b.

a) Fazendo a = b = 1, escreva a função correspondente e, em seguida, calcule f(0), f(2), f(4) e f(6).

b) As imagens de f do item anterior formam uma progressão? Em caso afirmativo, indique o tipo e a razão dessa progressão.

c) relacione a razão da P.A com os dados fornecidos no item a

d) Se dobrarmos o valor do coeficiente angular, mantendo o valor do coeficiente linear, a progressão aritmética se mantém? Justifique a sua resposta.

Accepted Answer

Vamos resolver cada item passo a passo.

### a) Fazendo $ a = b = 1 $, escreva a função correspondente e, em seguida, calcule $ f(0) $, $ f(2) $, $ f(4) $ e $ f(6) $.

A função afim com $ a = 1 $ e $ b = 1 $ é:

$$ f(x) = 1x + 1 $$
$$ f(x) = x + 1 $$

Agora, vamos calcular os valores solicitados:

$$
f(0) = 0 + 1 = 1
$$

$$
f(2) = 2 + 1 = 3
$$

$$
f(4) = 4 + 1 = 5
$$

$$
f(6) = 6 + 1 = 7
$$

### b) As imagens de $ f $ do item anterior formam uma progressão? Em caso afirmativo, indique o tipo e a razão dessa progressão.

As imagens calculadas são: $ 1, 3, 5, 7 $.

Esses valores formam uma Progressão Aritmética (P.A.), pois a diferença entre termos consecutivos é constante. A razão da P.A. é:

$$
r = f(2) - f(0) = 3 - 1 = 2
$$

### c) Relacione a razão da P.A com os dados fornecidos no item a

A razão da P.A. é igual ao coeficiente angular $ a $ da função afim. No item a, temos $ a = 1 $. Portanto, a razão da P.A. é $ 1 $.

### d) Se dobrarmos o valor do coeficiente angular, mantendo o valor do coeficiente linear, a progressão aritmética se mantém? Justifique a sua resposta.

Se dobrarmos o valor do coeficiente angular $ a $, teremos:

$$ a' = 2 \times 1 = 2 $$

A nova função será:

$$ f'(x) = 2x + 1 $$

Vamos calcular os novos valores:

$$
f'(0) = 2 \times 0 + 1 = 1
$$

$$
f'(2) = 2 \times 2 + 1 = 5
$$

$$
f'(4) = 2 \times 4 + 1 = 9
$$

$$
f'(6) = 2 \times 6 + 1 = 13
$$

Os novos valores são: $ 1, 5, 9, 13 $.

Esses valores também formam uma Progressão Aritmética (P.A.), pois a diferença entre termos consecutivos é constante. A nova razão da P.A. é:

$$
r' = f'(2) - f'(0) = 5 - 1 = 4
$$

Portanto, a progressão aritmética se mantém, mas com uma nova razão que é o dobro da anterior, refletindo o dobro do coeficiente angular $ a $.

Uma função afim da forma f(x) = ax + b tem coeficientes reai...

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