Uma particula move-se ao longo da curva y = 2 sen(πx/2). Quando a particula passa pelo ponto (1/3, 1), sua coordenada x cresce a uma taxa de √10 cm/s. Quão rápido a distância da particula à sua origem está variando nesse momento?

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos usar a regra da cadeia e derivadas relacionadas. A distância $ D $ da partícula à origem é dada por:

$$
D = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

A partícula se move ao longo da curva $ y = 2 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) $. Queremos encontrar a taxa de variação de $ D $ em relação ao tempo, $ \frac{dD}{dt} $, quando a partícula está no ponto $ \left(\frac{1}{3}, 1\right) $.

Primeiro, encontramos $ \frac{dy}{dx} $ usando a derivada da função $ y $:

$$
y = 2 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)
$$

$$
\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)
$$

No ponto $ \left(\frac{1}{3}, 1\right) $:

$$
\frac{dy}{dx} = \pi \cos\left(\frac{\pi \cdot \frac{1}{3}}{2}\right) = \pi \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi \sqrt{3}}{2}
$$

Usando a regra da cadeia, temos:

$$
\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\pi \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{10}
$$

Agora, calculamos $ \frac{dD}{dt} $:

$$
\frac{dD}{dt} = \frac{x}{D} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{y}{D} \cdot \frac{dy}{dt}
$$

No ponto $ \left(\frac{1}{3}, 1\right) $:

$$
D = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + 1} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}
$$

Substituindo os valores:

$$
\frac{dD}{dt} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}} \cdot \sqrt{10} + \frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{3}} \cdot \left(\frac{\pi \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{10}\right)
$$

Simplificando:

$$
\frac{dD}{dt} = 1 + \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\pi \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{10} = 1 + \frac{3\pi \sqrt{3}}{2}
$$

Portanto, a taxa de variação da distância da partícula à origem nesse momento é:

$$
\frac{dD}{dt} = 1 + \frac{3\pi \sqrt{3}}{2} \, \text{cm/s}
$$

Uma particula move-se ao longo da curva y = 2 sen(πx/2). Qua...

Uma particula move-se ao longo da curva y = 2 sen(πx/2). Quando a particula passa pelo ponto (1/3, 1), sua coordenada x cresce a uma taxa de √10 cm/s. Quão rápido a distância da particula à sua origem está variando nesse momento?

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