Uma pesquisa com 350 pessoas investigou a relação entre o consumo diário de refrigerantes e o desenvolvimento de cáries. Sabendo que a pessoa consome refrigerantes diariamente, 18% apresentam cáries. Sabendo que a pessoa não consome refrigerantes diariamente, 7% apresentam cáries. Cinquenta e cinco por cento das pessoas consomem refrigerantes diariamente. Sabendo que uma pessoa apresenta cáries, qual é a probabilidade de ela consumir refrigerantes diariamente [P(B|A)]?

Para resolver essa questão, utilizamos o Teorema de Bayes. Precisamos calcular a probabilidade de uma pessoa consumir refrigerantes diariamente dado que ela apresenta cáries, $P(B|A)$.

Definindo os eventos:

• $A$: A pessoa apresenta cáries.
• $B$: A pessoa consome refrigerantes diariamente.

Dados fornecidos:

• $P(A|B) = 0,18$ (probabilidade de ter cáries dado que consome refrigerantes).
• $P(A|\neg B) = 0,07$ (probabilidade de ter cáries dado que não consome refrigerantes).
• $P(B) = 0,55$ (probabilidade de consumir refrigerantes).
• $P(\neg B) = 0,45$ (probabilidade de não consumir refrigerantes).

Queremos calcular $P(B|A)$. Pelo Teorema de Bayes:

$$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$$

Primeiro, calculamos $P(A)$ usando a Regra da Probabilidade Total:

$$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\neg B) \cdot P(\neg B)$$

Substituindo os valores:

$$P(A) = 0,18 \cdot 0,55 + 0,07 \cdot 0,45$$ $$P(A) = 0,099 + 0,0315 = 0,1305$$

Agora, substituímos na fórmula de Bayes:

$$P(B|A) = \frac{0,18 \cdot 0,55}{0,1305}$$ $$P(B|A) = \frac{0,099}{0,1305} \approx 0,7586$$

Portanto, a probabilidade de uma pessoa consumir refrigerantes diariamente dado que ela apresenta cáries é aproximadamente $75,86\%$.