uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas medindo 10 cm , calcule a area total a altura e volume

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos calcular a área total, a altura e o volume de uma pirâmide triangular regular com arestas medindo 10 cm.

1. **Área Total:**

A pirâmide triangular regular possui uma base que é um triângulo equilátero e três faces laterais que são triângulos isósceles.

- **Área da base (triângulo equilátero):**

A fórmula para a área de um triângulo equilátero de lado $a$ é:

$$
A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
$$

Substituindo $a = 10$ cm:

$$
A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

- **Área de uma face lateral (triângulo isósceles):**

A altura de cada triângulo isósceles pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. A base do triângulo isósceles é o lado do triângulo equilátero da base, ou seja, 10 cm, e os lados iguais são as arestas da pirâmide, também 10 cm.

Vamos calcular a altura $h_l$ do triângulo isósceles:

$$
h_l = \sqrt{10^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

A área de uma face lateral é:

$$
A_{\text{lateral}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times h_l = \frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

A pirâmide tem três faces laterais, então a área total das faces laterais é:

$$
A_{\text{faces laterais}} = 3 \times 25\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

- **Área Total da Pirâmide:**

$$
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{faces laterais}} = 25\sqrt{3} + 75\sqrt{3} = 100\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

2. **Altura da Pirâmide:**

A altura $h$ da pirâmide pode ser encontrada usando o triângulo formado pela altura da pirâmide, a altura do triângulo equilátero da base, e a altura de uma face lateral.

A altura do triângulo equilátero da base é:

$$
h_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

Usando Pitágoras no triângulo que inclui a altura da pirâmide, a altura da base e a altura da face lateral:

$$
h = \sqrt{(10)^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
$$

3. **Volume:**

O volume $V$ de uma pirâmide é dado por:

$$
V = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura}
$$

$$
V = \frac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}^3
$$

Portanto, as respostas são:

- Área total: $100\sqrt{3} \, \text{cm}^2$
- Altura: $5 \, \text{cm}$
- Volume: $\frac{125\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}^3$

uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas medindo...

uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas medindo 10 cm , calcule a area total a altura e volume

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