Uma progressão aritmética apresenta soma de seus n termos igual a n (5n – 3). Determine a razão desta
progressão

Question

Uma progressão aritmética apresenta soma de seus n termos igual a n (5n – 3). Determine a razão desta 
progressão

Accepted Answer

Para determinar a razão da progressão aritmética (PA), precisamos utilizar a fórmula para a soma dos $ n $ termos de uma PA:

$$ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)r) $$

onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ primeiros termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão,
- $ n $ é o número de termos.

De acordo com o problema, temos que:

$$ S_n = n(5n - 3) $$

Igualando as duas expressões para a soma dos $ n $ termos, obtemos:

$$ \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)r) = n(5n - 3) $$

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ n $ (considerando $ n \neq 0 $):

$$ \frac{1}{2} (2a_1 + (n-1)r) = 5n - 3 $$

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

$$ 2a_1 + (n-1)r = 10n - 6 $$

Agora, vamos analisar o caso quando $ n = 1 $:

$$ 2a_1 + (1-1)r = 10(1) - 6 $$
$$ 2a_1 = 4 $$
$$ a_1 = 2 $$

Vamos substituir $ a_1 = 2 $ na equação geral:

$$ 2(2) + (n-1)r = 10n - 6 $$
$$ 4 + (n-1)r = 10n - 6 $$

Isolando $ (n-1)r $:

$$ (n-1)r = 10n - 6 - 4 $$
$$ (n-1)r = 10n - 10 $$

Dividindo por $ n-1 $ (considerando $ n \neq 1 $):

$$ r = \frac{10n - 10}{n-1} $$

Essa expressão simplifica para:

$$ r = \frac{10(n-1)}{n-1} $$
$$ r = 10 $$

Portanto, a razão da progressão aritmética é $ r = 10 $.