Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Foram sacadas, sucessivamente e sem reposição, 2 dessas bolas. A probabilidade de a primeira bola ter um número par e a segunda ter um número múltiplo de 5 é igual a ?
A
Aluno
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31/05/24

Question

Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Foram sacadas, sucessivamente e sem reposição, 2 dessas bolas. A probabilidade de a primeira bola ter um número par e a segunda ter um número múltiplo de 5 é igual a ?

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31/05/24

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos calcular a probabilidade de dois eventos ocorrerem em sequência:

1. A primeira bola retirada ser um número par.
2. A segunda bola retirada ser um múltiplo de 5.

Primeiro, vamos determinar o número total de bolas na urna e as características das bolas que nos interessam:

- Existem 10 bolas numeradas de 1 a 10.
- As bolas com números pares são: 2, 4, 6, 8, 10 (5 bolas).
- As bolas com números múltiplos de 5 são: 5, 10 (2 bolas).

Vamos calcular a probabilidade passo a passo.

### Passo 1: Probabilidade de a primeira bola ser um número par
Existem 5 bolas pares entre as 10 bolas. Portanto, a probabilidade de retirar uma bola par na primeira tentativa é:
$$
P(\text{par}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
$$

### Passo 2: Probabilidade de a segunda bola ser um múltiplo de 5
Depois de retirar a primeira bola par, restam 9 bolas na urna. Precisamos considerar dois casos:

#### Caso 1: A primeira bola retirada não é o número 10
Se a primeira bola retirada não for o número 10 (que é par e múltiplo de 5), ainda temos duas bolas múltiplas de 5 (5 e 10) entre as 9 restantes. Portanto, a probabilidade de a segunda bola ser um múltiplo de 5 é:
$$
P(\text{múltiplo de 5 | primeira não é 10}) = \frac{2}{9}
$$

#### Caso 2: A primeira bola retirada é o número 10
Se a primeira bola retirada for o número 10, resta apenas uma bola múltipla de 5 (a bola 5) entre as 9 restantes. Portanto, a probabilidade de a segunda bola ser um múltiplo de 5 é:
$$
P(\text{múltiplo de 5 | primeira é 10}) = \frac{1}{9}
$$

### Passo 3: Probabilidade combinada
Agora, precisamos combinar essas probabilidades considerando os dois casos possíveis para a primeira bola par.

#### Caso 1: Primeira bola não é 10
A probabilidade de a primeira bola ser um número par diferente de 10 é:
$$
P(\text{primeira é par diferente de 10}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
$$
A probabilidade combinada para este caso é:
$$
P(\text{par diferente de 10 e múltiplo de 5}) = P(\text{par diferente de 10}) \times P(\text{múltiplo de 5 | primeira não é 10}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{9} = \frac{4}{45}
$$

#### Caso 2: Primeira bola é 10
A probabilidade de a primeira bola ser o número 10 é:
$$
P(\text{primeira é 10}) = \frac{1}{10}
$$
A probabilidade combinada para este caso é:
$$
P(\text{10 e múltiplo de 5}) = P(\text{10}) \times P(\text{múltiplo de 5 | primeira é 10}) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{90}
$$

### Passo 4: Somar as probabilidades dos dois casos
Finalmente, somamos as probabilidades dos dois casos:
$$
P(\text{total}) = \frac{4}{45} + \frac{1}{90} = \frac{8}{90} + \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}
$$

Portanto, a probabilidade de a primeira bola ser um número par e a segunda ser um múltiplo de 5 é $\boxed{\frac{1}{10}}$.

Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Foram sacadas, sucessivamente e sem reposição, 2 dessas bolas. A probabilidade de a primeira bola ter um número par e a segunda ter um número múltiplo de 5 é igual a ?

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