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Unidade 3 - Tópico 3 Início Unidade 1 - FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tópico 1 INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Tópico 2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO Tópico 3 PROPRIEDADES DA MECÂNICA DOS MATERIAIS Unidade 2 - FORÇAS AXIAIS, TRELIÇAS E CISALHAMENTO DOS MATERIAIS Tópico 1 ESFORÇO NORMAL AXIAL Tópico 2 TRELIÇAS Tópico 3 CISALHAMENTO Unidade 3 - ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO Tópico 1 TORÇÃO Tópico 2 FLEXÃO Tópico 3 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO Referências

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Alinhamento do Texto Redefinir Fechar Unidade 3ESFORÇOS ESTRUTURAIS DE TORÇÃO, FLEXÃO E TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO Tópico 3TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 1 INTRODUÇÃO Para este tópico abordaremos o assunto de transformação de tensões e deformações, aprendendo como transformar os componentes de tensão que estão associados a um sistema de coordenadas particular e componentes ligados a um sistema de coordenadas com orientação distinta. Com isso, obtêm-se as equações de transformação que são necessárias para encontrar as tensões normal máxima e de cisalhamento máximo em um ponto e descobrir a orientação em que estas estão agindo.

Em questão da transformação de deformação de um ponto, a forma para descobrir esse valor é semelhante ao método das transformações de tensão. Ainda serão abordadas maneiras de desenvolver relações importantes com as propriedades dos materiais.

2 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES Para analisar as tensões em um elemento cúbico, pode-se afirmar que existem seis componentes independentes de tensão normal e cisalhante que atuam na face deste elemento. Esta situação não é comumente encontrada e aplica-se nestas situações simplificações de cargas sobre o corpo a fim de avaliar esta tensão em um plano simples, desta forma, o material estará sujeito a tensões no plano.

O estado plano de tensões é representado pela combinação de dois componentes de tensão normal σx e σy e um componente de tensão de cisalhamento (τxy) que atuam sobre as quatro faces do elemento cúbico. Estudaremos aqui o estado de tensões no plano x-y.

A figura a seguir apresenta o estado do plano de tensões, o qual foi explicado nos parágrafos anteriores. A letra a representa o estado geral de tensões com seis componentes de tensão normal e de cisalhamento que atuam no elemento, na letra b temos o estado do plano de tensões, onde são simplificadas as cargas atuantes no corpo e na letra c é apresentado o plano de tensões no eixo x-y.

FIGURA 14 – ESTADO PLANO DE TENSÕES A) ESTADO GERAL DE TENSÕES; B) ESTADO PLANO DE TENSÕES; C) ESTADO PLANO DE TENSÕES (VISTA BIDIMENSIONAL)

FONTE: Hibbeler (2004, p. 343)

Desta forma, conforme a figura a seguir, onde temos um elemento de tensão com três componentes representados pela figura da letra a e um elemento com orientações diferentes representado pela letra b, que resulta em três componentes com diferentes tensões. Resumindo, conforme Hibbeler (2004), o estado plano de tensões é representado unicamente pelos três componentes que atuam em um elemento que tenha orientação específica naquele ponto.

FIGURA 15 – ESTADO PLANO DE TENSÕES A) ELEMENTO DE TENSÃO COM TRÊS ELEMENTOS; B) ELEMENTO DE TENSÃO COM DIFERENTE ORIENTAÇÃO E TRÊS COMPONENTES DE DIFERENTES TENSÕES

FONTE: Hibbeler (2004, p. 343)

Neste sentido, vamos aprender a encontrar o estado de tensão de um certo elemento de acordo com a orientação determinada e também determinar o estado de tensão do elemento com diferentes orientações. Antes de aprender a dedução das equações para esta verificação das tensões deve-se estabelecer a convenção de sinais para os componentes.

Para valores positivos adota-se a direção positiva da coordenada da face positiva do elemento e para valores negativos utiliza a direção negativa da coordenada da face negativa do elemento. Ou seja, σx é positivo uma vez que sua direção está para a direita da face vertical direita e atua para a esquerda (-x) sobre a face vertical esquerda.

FIGURA 16 – CONVENÇÃO DE SINAL POSITIVO

FONTE: Hibbeler (2004, p. 346)

Tensão normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva atua para cima na face direita do elemento.

Com isso, podem ser definidas as equações a seguir:

(Eq. 56)

Para σy, adota-se θ = θ + 90º, resultando na seguinte expressão:

(Eq. 57)

E a tensão de cisalhamento:

(Eq. 58)

Para maior fixação e compreensão vamos realizar um exemplo a seguir.

O elemento da figura a seguir está sujeito a tensões, desta forma, determine o estado de tensão no ponto em outro elemento, orientado a 30º no sentido horário conforme visualizado a seguir.

ELEMENTO NO PLANO DE TENSÕES E GIRO DO ELEMENTO NO SENTIDO HORÁRIO PARA θ = 30º

FONTE: Hibbeler (2004, p. 348)

Pela convenção de sinal explicada anteriormente, temos para as tensões os seguintes valores:

σx = - 80 MPa σy = 50 MPa σxy = - 25 MPa

Ainda analisando a figura acima podemos iniciar calculando no plano CD os componentes de tensão. O eixo x’ positivo é orientado para perpendicularmente a CD e conforme o enunciado o ângulo medido entre x e x’ é igual a – 30º (negativo pois está no sentido horário). Podemos então, aplicar as equações aprendidas anteriormente:

Os valores encontrados negativos, indicam que σx, e τx'y' atuam nas direções negativas de x’ e y’. Para o plano BC utilizamos o valor de θ = 60º conforme indicado na figura a seguir.

PLANO DE TENSÕES BC COM VALOR DE ÂNGULO 60º

FONTE: Hibbeler (2004, p. 349) Utilizamos então a mesma equação aplicada anteriormente:

Com os resultados encontrados podemos redesenhar o elemento com as calculadas.

PLANO DE TENSÕES ENCONTRADAS PARA O ELEMENTO

FONTE: Hibbeler (2004, p. 349) Com isso, podemos passar para o próximo item onde vamos abordar a respeito das tensões principais e tensão máxima de cisalhamento no plano.

3 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO MÁXIMA DE CISALHAMENTO NO PLANO Em relação as tensões principais, é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e mínimo e também para a tensão de cisalhamento. Como os valores de tensão dependem do valor do ângulo (θ), é igualada a 0 a equação utilizada anteriormente e assim determinar o ângulo de orientação em que as tensões principais e de cisalhamento no plano sejam máximas e mínimas. A equação encontrada é a seguinte:

(Eq. 59)

Após determinar a equação acima, pode-se encontrar a tensão normal máxima (σ1) ou tensão normal mínima (σ2). Estas tensões agem nos planos principais onde nenhuma tensão de cisalhamento age. Para realizar o cálculo destas tensões temos a seguinte equação:

(Eq. 60)

Agora, para a determinação da tensão de cisalhamento máxima no plano, utiliza-se a equação abaixo para determinação do ângulo de orientação do plano onde isso ocorre:

(Eq. 61)

Segundo Hibbeler (2004): Os planos para a tensão de cisalhamento máxima são determinados orientando-se um elemento a 45º da posição do elemento que define os planos de tensão principal.

A tensão de cisalhamento máxima é calculada através da equação:

(Eq. 62)

Ainda, podemos dizer que há uma tensão normal nos planos de tensão de cisalhamento máxima. Assim, obtemos a fórmula da média das tensões da seguinte forma:

(Eq. 63)

Para maior fixação e compreensão das equações vamos realizar a seguir um exemplo destes cálculos.

Uma carga de torção é aplicada à barra da figura a seguir causando estado de tensão de cisalhamento puro na barra. Sendo assim, vamos calcular o valor da tensão máxima de cisalhamento no plano, tensão normal média e a tensão principal.

TORÇÃO DE BARRA

FONTE: Hibbeler (2004, p. 352) Pela convenção dos sinais obtemos:

Iniciaremos calculando o valor da tensão máxima de cisalhamento no plano e a tensão média:

Quando são aplicados torques em materiais dúcteis, os mesmos resultam em falhas devido a tensão de cisalhamento.

Calculada a tensão máxima de cisalhamento e a tensão média, vamos calcular abaixo a tensão normal da barra, iniciando pelo cálculo do ângulo:

Materiais frágeis falham devido à tensão normal.

4 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DAS TENSÕES Neste item vamos abordar o assunto do círculo de Mohr, que é uma solução gráfica, representando cada plano em um sistema de coordenadas com σ no eixo das abcissas e τ no eixo das ordenadas. As equações vistas anteriormente para calcular a σx' e τx'y' podem ser reescritas e eliminado o θ quando elevamos ao quadrado, obtendo a seguinte equação:

(Eq. 64)

Estabelecendo eixos e coordenadas em que σ seja positivo para a direita e τ seja positivo para baixo e for representada a equação acima, constatamos que a mesma forma um círculo (círculo de Mohr) com raio e centro C (σméd, 0) no eixo σ. O mesmo é representado na figura a seguir.

FIGURA 17 – CÍRCULO DE MOHR

FONTE: Hibbeler (2004, p. 361)

Para determinar o círculo de Mohr devem ser seguidos alguns passos:

Primeiramente deve-se escolher um sistema de coordenadas onde a abcissa representa a tensão normal σ (sentido positivo para a direita) e a ordenada a tensão de cisalhamento τ com sentido positivo para baixo. Após utilizar a convenção de sinal, marca-se o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância da origem (σméd). Identificar o ponto de referência das coordenadas, como A (σx, τxy), que representam os componentes das tensões normal e de cisalhamento. Unir o ponto A ao centro C e determinar o mesmo através da trigonometria (essa distância representa o R do círculo). E por fim, traçar o círculo.

Para compreender mais a respeito do círculo de Mohr, a figura a seguir representa um elemento no plano XY com tensões normais e de cisalhamento.

FIGURA 18 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR

FONTE: Pelegrin e Canella (2019, p. 69)

Podemos observar que, o círculo está localizado no eixo σ e que as tensões normais máxima e mínima estão localizados à direita e à esquerda do eixo, respectivamente. As tensões de cisalhamento se localizam na parte superior e inferior no gráfico e o centro do círculo está localizado na σméd . Ainda, o raio do círculo pode ser determinado pelas relações trigonométricas e é igual às tensões de cisalhamento máxima e mínima. E por fim, a tensão principal máxima é determinada pela soma do raio e da média da tensão normal dos planos e a mínima através da diferença entre o raio e a tensão normal média dos planos perpendiculares entre si.

Como exemplo, vamos determinar o círculo de Mohr para o desenho da figura a seguir, onde uma carga P resulta no material uma tensão.

CARGA P EM DETERMINADO MATERIAL RESULTANDO TENSÃO NORMAL

FONTE: Hibbeler (2004, p. 364)

Temos através da imagem acima os seguintes valores para tensão e cisalhamento:

O eixo do círculo está na σ, assim, temos:

Em relação às coordenadas pela face direita do elemento temos A (σ, 0) no ponto de referência de θ = 0, resultando em um valor de raio de:

As tensões principais estão nos pontos A e D e tem valores iguais a zero. A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal média a ela associadas estão nas extremidades do círculo, ou seja, pontos E e F, tendo:

Só para constatar, o ângulo está no sentido horário e tem o valor de 20c1 = 90° portanto o valor de θc1 = 45°.

5 TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO A transformação de deformação é muito semelhante a transformação de tensão. Esta também atua em componentes de deformação normal e de cisalhamento, tendendo a deformar cada face de um elemento e variam de acordo com a orientação.

Como no estudo da transformação de tensão, temos o estudo do estado do plano de deformações, sendo considerado os componentes de deformação normal (Îx, Îy) e um componente de deformação por cisalhamento (Yxy). As deformações causadas por cada um destes componentes estão representadas na figura a seguir.

FIGURA 19 – DEFORMAÇÕES NORMAL EM X E Y E DE CISALHAMENTO EM XY

FONTE: Hibbeler (2004, p. 383)

As deformações normais de x e y são causadas com variações no comprimento do elemento e a deformação de cisalhamento é identificada como rotativa relativa em xy. Devido ao efeito de Poisson, a ocorrência simultânea da transformação de tensão e deformação dos estados do plano não ocorrerá, a menos que o coeficiente de Poisson seja igual a zero.

Antes de apresentar as equações de deformação nos eixos, deve-se dar uma atenção para a convenção dos sinais. As deformações normais Îx e Îy serão positivas se resultarem em alongamento nos eixos x e y, já as deformações por cisalhamento será positiva se o ângulo interno AOB for menor que 90º.

Conhecendo um estado de deformação de um ponto, com uma certa orientação do elemento, podemos calcular o estado de deformação em uma orientação distinta. Para isso, utilizamos as equações a seguir:

(Eq. 65)

(Eq. 66)

E para a deformação de cisalhamento:

(Eq. 67)

Como pode-se perceber há uma semelhança entre as equações da transformação de tensão e deformação. Devido a essa semelhança podemos determinar a direção do eixo e as deformações principais, conforme as equações a seguir:

(Eq. 68)

(Eq. 69)

Da mesma forma que para as tensões no plano, a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação média é dada por:

(Eq. 70)

(Eq. 71)

(Eq. 72)

Para maior fixação do aprendizado, vamos realizar um exemplo do cálculo do estado de deformações.

Um elemento infinitesimal representado pela figura a seguir, o ponto está sujeito ao estado plano de deformações com valores que tendem a torcê-lo como, ∈x = -350. 10-6, ∈ = -200. 10-6 e Yxy = -80 . 10-6 . Desta forma, vamos determinar as deformações principais e a orientação do elemento.

ELEMENTO SUJEITO A DEFORMAÇÕES

FONTE: Hibbeler (2004, p. 388) Primeiro vamos calcular a orientação do elemento, a partir da equação a seguir:

Assim:

2 θp = - 8,28° e -8 ,28° + 180° = 172°

De modo que: θp = 4,14° e 85,9°

Cada ângulo é medido positivamente no sentido anti-horário, a partir do eixo x para as normais externas em cada face do elemento conforme a figura a seguir.

ÂNGULO DAS DEFORMAÇÕES

FONTE: Hibbeler (2004, p. 389) Agora podemos calcular o valor das deformações principais:

6 CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES Da mesma forma que no cálculo do círculo de Mohr no estado plano de tensões, temos o círculo de Mohr para o estado plano de deformações. Estes são calculados da mesma maneira que no estado de tensão.

Conforme descrito na seção das tensões, o parâmetro θ pode ser eliminado e o resultado pode ser descrito da seguinte forma:

(Eq.73)

Determine as deformações principais e a orientação de um elemento que em um dos pontos o estado plano de deformações seja representado pelos componentes: ∈x = 250. 10-6, ∈y = -150. 10-6 e Yxy = 120. 10-6.

Os eixos ∈ e já são definidos, lembrando que o sentido positivo do eixo deve ser considerado para baixo, resultando em rotações no sentido anti-horário para o elemento. Ainda o centro C do círculo está localizado no eixo ∈.

A seguir podemos calcular o valor do ∈méd do gráfico:

O valor de é igual a 60. 10-6 e o ponto de referência A em 0º tem coordenadas de A (250. 10-6; 60. 10-6). E pela trigonometria podemos definir o valor de R no círculo de AC, conforme abaixo:

Estes valores encontrados estão ilustrados na Figura 42.

CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR

FONTE: Hibbeler (2004, p. 392) Agora podemos calcular as deformações principais nos pontos B e D:

A direção para a deformação principal Î1é positiva e é definida pelo ângulo 2 θp1 no sentido anti-horário, medido de CA pra CB.

Sugerimos acessar a biblioteca virtual da Pearson para leitura adicional do Capítulo 9 – Transformação da Tensão e Capítulo 10 – Transformação da deformação – do livro de Resistência dos Materiais de R.C. Hibbeler.

LEITURA COMPLEMENTAR ANÁLISE TEÓRICA DO DIMENSIONAMENTO DE UMA CAIXA REDUTORA DE TRANSMISSÃO PARA VEÍCULO MINI-BAJA

Diego Fellipe Rodrigues da Silva Rafael José da Cunha Deiró José Carlos de Lacerda Valmir Dias Luiz.

Para realizar o dimensionamento de uma transmissão mecânica de veículo de competição é necessário considerar diversos aspectos técnicos, que vão desde a escolha do material a ser empregado até o tipo de transmissão a ser usada. Além disso, uma transmissão de veículo off-road deve suportar os impactos causados pelo terreno acidentado e por isso deve ser robusta. Dentro de uma caixa redutora, os diversos eixos, tanto os de apoio das engrenagens, quanto os de transmissão de potência, estão sujeitos a esforços de torção e flexão. Desta forma, vamos aplicar os conhecimentos adquiridos por você nesta unidade para acompanhar o cálculo de dimensionamento dos eixos da caixa redutora deste veículo de competição. As equações apresentadas já estão abreviadas com os valores e constantes utilizadas pelos autores do artigo referentes às dimensões pré-estabelecidas das peças.

O dimensionamento dos eixos da caixa de redução deve levar em consideração os esforços de flexão e torção. No caso do eixo que fará a transmissão de potência em balanço, foi necessário o cálculo da flexão. Já no caso dos outros eixos que suportariam apenas as engrenagens, foi desprezada a flexão. O material utilizado para os cálculos foi o aço SAE 1045, com σe = 3000 kgf/cm². Coeficiente de segurança de s = 5.

Sendo assim, o eixo que suportará a transmissão terá sua flexão calculada pela Eq:

Como a massa do conjunto e a distância média em relação ao ponto de apoio na caixa são de:

m = 8,5Kg L = 85mm Isso resulta num eixo com diâmetro mínimo de: d = 0,984cm

Para os outros dois eixos, a equação a seguir relaciona apenas a torção:

Sabendo que a primeira redução tem o fator i = 2,47, temos o diâmetro mínimo do segundo eixo:

d = 1,492cm

Já a segunda redução tem o fator i = 3,15, o diâmetro mínimo do terceiro eixo de:

d = 2,1546cm

Podemos observar na figura a seguir a seguir uma visão da montagem das engrenagens nos eixos.

MONTAGEM DOS EIXOS, ENGRENAGENS E ROLAMENTOS NA CARCAÇA DA CAIXA

FONTE: Os autores (2010) Os resultados obtidos nos cálculos estão dentro das expectativas do projeto, como os valores obtidos na relação de transmissão e o diâmetro dos eixos e as forças atuantes no mesmo. Este mesmo procedimento de cálculo é utilizado dentro das indústrias para dimensionamento de eixos, tanto de veículos, quanto de outras máquinas.

FONTE: SILVA, D. F. R.; CUNHA DEIRÓ, R. J.; LACERDA, J. C.; LUIZ, V. D. Analise teórica do dimensionamento de uma caixa redutora de transmissão para veículo mini baja – VI CONEM – Campina Grande, Paraíba, 2010. Resumo do Tópico Neste tópico, você aprendeu que:

Transformar os elementos de tensão que tenham uma determinada orientação no elemento para um elemento com diferente orientação.

Encontrar as tensões máximas e mínimas de um elemento e a orientação do plano que resulta nesses resultados, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.

Transformar os elementos de deformação com uma determinada orientação do elemento em um elemento com orientação distinta.

Construir o círculo de Mohr, tanto para o estado plano de tensões, quanto para o estado plano de deformações. Autoatividades Unidade 3 - Tópico 3

1 Um corpo submetido a um estado de tensões, conforme apresentado na figura a seguir, está submetido a uma tensão normal de compressão σy= 10 MPa , uma tensão normal de tração σx = 50 MPa e a uma tensão de cisalhamento τxy = 40 MPa . Desta forma, determine a tensão principal e a tensão máxima de cisalhamento.

ELEMENTO SUBMETIDO A UM PLANO DE TENSÕES

FONTE: <bit.ly>. Acesso em: 18 dez. 2020. Para resolver o problema e determinar as tensões principais ($\sigma_1$ e $\sigma_2$) e a tensão máxima de cisalhamento ($\tau_{\text{máx}}$), utilizamos as equações da mecânica dos ma