(Unifesp) Uma corda de 1 m de comprimento está conectada no ponto D de um triângulo retângulo ABC de ângulo reto no vértice A e medidas AB = 3 m e AC = 4 m. O ponto de conexão entre a corda e o triângulo pode deslizar livremente por todos os lados do triângulo. Durante o deslocamento do ponto D por todos os lados do triângulo, com o ponto E distando sempre 1 m do triângulo, E descreverá uma curva fechada, contida no plano do triângulo ABC, chamada de λ.

a) Faça um esboço do desenho de λ e calcule o comprimento dessa curva.

b) Seja M o ponto mais distante do vértice B atingido pelo ponto E durante seu deslocamento e A' a projeção ortogonal do ponto A sobre a hipotenusa do triângulo ABC. Calcule a distância entre os pontos M e A'.

Question

(Unifesp) Uma corda de 1 m de comprimento está conectada no ponto D de um triângulo retângulo ABC de ângulo reto no vértice A e medidas AB = 3 m e AC = 4 m. O ponto de conexão entre a corda e o triângulo pode deslizar livremente por todos os lados do triângulo. Durante o deslocamento do ponto D por todos os lados do triângulo, com o ponto E distando sempre 1 m do triângulo, E descreverá uma curva fechada, contida no plano do triângulo ABC, chamada de λ.

a) Faça um esboço do desenho de λ e calcule o comprimento dessa curva.

b) Seja M o ponto mais distante do vértice B atingido pelo ponto E durante seu deslocamento e A' a projeção ortogonal do ponto A sobre a hipotenusa do triângulo ABC. Calcule a distância entre os pontos M e A'.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar cada parte:

### a) Esboço e comprimento da curva λ

A curva λ é formada pelo ponto E enquanto D desliza ao longo dos lados do triângulo ABC. Como E está sempre a 1 metro do triângulo, ele descreve uma trajetória que envolve os três lados do triângulo, formando segmentos de arco de circunferências com raio de 1 metro centrados nos vértices A, B e C.

- **Esboço:** Para desenhar a curva λ, imagine arcos de circunferência em torno de cada vértice do triângulo ABC, com raio de 1 metro. Esses arcos se conectam suavemente ao longo dos lados do triângulo.

- **Comprimento da curva:** O comprimento total da curva λ é a soma dos comprimentos dos três segmentos de arco. Cada segmento de arco corresponde a um lado do triângulo acrescido de 1 metro em cada extremidade.

### b) Distância entre M e A'

- **M:** O ponto mais distante de B atingido por E ocorre quando E está no ponto médio do arco sobre o lado AC, que é perpendicular a AB.

- **A':** A projeção ortogonal de A sobre a hipotenusa AC é encontrada usando a fórmula de projeção. Como A é o vértice do ângulo reto, A' divide a hipotenusa em segmentos proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.

Para calcular a distância entre M e A':

1. **Identifique as coordenadas de M:** M está em uma posição tal que maximiza a distância de B, possivelmente no arco sobre o lado AC.

2. **Determine A':** Use a propriedade da projeção ortogonal no triângulo retângulo:
   $$
   A' = \left(\frac{AB^2}{AC}, \frac{BC^2}{AC}\right)
   $$
   onde $AB = 3$, $AC = 4$, e $BC = 5$.

3. **Calcule a distância entre M e A':** Use a fórmula da distância entre dois pontos.

Essas etapas permitem encontrar a solução para o comprimento da curva λ e a distância entre os pontos M e A'.

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