) (UNIRIO) Um bloco de certo metal tem seu volume dilatado de 200cm3 para 206cm3, quanto sua temperatura aumenta de 20ºC para 520ºC. Se um fio deste mesmo metal, tendo 10cm de comprimento a 20ºC, for aquecido até a temperatura de 520ºC, então seu comprimento em centímetro passará a valer:
a) 10,1 b) 10,2 c) 10,3
d) 10,6 e) 11,2

Question

) (UNIRIO) Um bloco de certo metal tem seu volume dilatado de 200cm3 para 206cm3, quanto sua temperatura aumenta de 20ºC para 520ºC. Se um fio deste mesmo metal, tendo 10cm de comprimento a 20ºC, for aquecido até a temperatura de 520ºC, então seu comprimento em centímetro passará a valer:
a) 10,1	b) 10,2	c) 10,3	
d) 10,6	e) 11,2

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos usar a relação entre a dilatação volumétrica e a dilatação linear de um material. A dilatação volumétrica é dada pela fórmula:

$$ \Delta V = V_0 \beta \Delta T $$

onde:
- $ \Delta V $ é a variação do volume,
- $ V_0 $ é o volume inicial,
- $ \beta $ é o coeficiente de dilatação volumétrica,
- $ \Delta T $ é a variação da temperatura.

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de dilatação volumétrica ($\beta$) do metal. Sabemos que o volume inicial ($V_0$) é 200 cm³ e o volume final é 206 cm³, com uma variação de temperatura ($\Delta T$) de 500ºC (de 20ºC para 520ºC).

$$ \Delta V = 206 \, \text{cm}^3 - 200 \, \text{cm}^3 = 6 \, \text{cm}^3 $$

Substituindo na fórmula da dilatação volumétrica:

$$ 6 = 200 \beta \times 500 $$

Resolvendo para $\beta$:

$$ \beta = \frac{6}{200 \times 500} = \frac{6}{100000} = 6 \times 10^{-5} \, \text{ºC}^{-1} $$

Agora, para encontrar o comprimento do fio após o aquecimento, usamos a fórmula da dilatação linear:

$$ \Delta L = L_0 \alpha \Delta T $$

onde:
- $ \Delta L $ é a variação do comprimento,
- $ L_0 $ é o comprimento inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
- $ \Delta T $ é a variação da temperatura.

Sabemos que $\beta = 3\alpha$, então:

$$ \alpha = \frac{\beta}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} \, \text{ºC}^{-1} $$

O comprimento inicial do fio ($L_0$) é 10 cm e a variação de temperatura ($\Delta T$) é 500ºC.

Substituindo na fórmula da dilatação linear:

$$ \Delta L = 10 \times 2 \times 10^{-5} \times 500 $$

$$ \Delta L = 10 \times 10^{-2} = 0,1 \, \text{cm} $$

Portanto, o novo comprimento do fio será:

$$ L_f = L_0 + \Delta L = 10 + 0,1 = 10,1 \, \text{cm} $$

**Resposta: a**

O comprimento do fio passará a valer 10,1 cm quando aquecido até 520ºC.

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