(Unisc-RS) Seja sen(x) + cos(x) = a e sen(x) · cos(x) = b. Podemos afirmar que
a) a + b = 1.
b) a² + b = 1.
c) a + b² = 1.
d) a² - 2b = 1.
e) a² + 2b = 1.

Question

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos analisar as equações dadas:

1. $\sin(x) + \cos(x) = a$
2. $a \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = b$

Podemos usar a identidade trigonométrica básica:

$$
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
$$

A partir da primeira equação, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

$$
(\sin(x) + \cos(x))^2 = a^2
$$

Expandindo o quadrado:

$$
\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = a^2
$$

Substituindo $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$$
1 + 2\sin(x)\cos(x) = a^2
$$

Dessa forma, podemos expressar $2\sin(x)\cos(x)$ como $a^2 - 1$.

Sabemos que:

$$
b = a \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)
$$

E $\sin(x)\cos(x) = \frac{b}{a}$.

Agora, substituímos na expressão $2\sin(x)\cos(x) = a^2 - 1$:

$$
2\left(\frac{b}{a}\right) = a^2 - 1
$$

Multiplicando tudo por $a$:

$$
2b = a^3 - a
$$

Assim, temos:

$$
a^3 - a - 2b = 0
$$

Analisando as opções, a relação correta que podemos afirmar é:

**Resposta: e) $a^2 + 2b = 1$**

Pois $2b = a^2 - 1$ implica $a^2 + 2b = 1$.

(Unisc-RS) Seja sen(x) + cos(x) = a e sen(x) · cos(x) = b. P...

(Unisc-RS) Seja sen(x) + cos(x) = a e sen(x) · cos(x) = b. Podemos afirmar que a) a + b = 1. b) a² + b = 1. c) a + b² = 1. d) a² - 2b = 1. e) a² + 2b = 1.

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