(UPE) A função y = a + b cos(x), com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?
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Park
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07/04/25

Q: (UPE) A função y = a + b cos(x), com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?

Para resolver este problema, vamos analisar a função $ y = a + b \cos(x) $ com as informações fornecidas. 1. **Interseção com o eixo y:** Quando $ x = 0 $, a função intersecta o eixo y no ponto (0, -1). Assim, temos: \[ y = a + b \cos(0) = a + b = -1 \] 2. **Valor máximo da função:** O valor máximo dado é $ y = 5 $. O valor máximo de $ \cos(x) $ é 1, então: \[ a + b \cdot 1 = a + b = 5 \] Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: \[ \begin{cases} a + b = -1 \\ a + b = 5 \end{cases} \] No entanto, percebemos que houve um erro na interpretação, pois o sistema como está não faz sentido. Vamos reavaliar o problema: - A função atinge seu valor máximo quando $ \cos(x) = 1 $, e nesse caso, $ y = a + b = 5 $. - A interseção com o eixo y nos dá $ a + b = -1 $. Vamos corrigir o sistema: 1. $ a + b = -1 $ 2. $ a + b = 5 $ O correto é que o valor máximo da função ocorre quando $ y = a + |b| $ e não apenas $ a + b $. Portanto, a diferença entre o valor máximo e o valor na interseção é devido ao módulo de $ b $. A equação correta para o valor máximo deve ser: \[ a + |b| = 5 \] Portanto, agora podemos resolver o sistema corretamente considerando o módulo: 1. $ a + b = -1 $ 2. $ a + |b| = 5 $ Se $ b $ for negativo, então $ |b| = -b $. Substituindo $ b = -b $ na segunda equação: \[ a - b = 5 \] Agora temos o sistema corrigido: \[ \begin{cases} a + b = -1 \\ a - b = 5 \end{cases} \] Somando as duas equações: \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] Substituindo $ a = 2 $ na primeira equação: \[ 2 + b = -1 \implies b = -3 \] Agora que temos $ a = 2 $ e $ b = -3 $, podemos calcular a soma $ 5a + 2b $: \[ 5a + 2b = 5(2) + 2(-3) = 10 - 6 = 4 \] **Resposta: 4**

Question

(UPE) A função y = a + b cos(x), com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos analisar a função $ y = a + b \cos(x) $ com as informações fornecidas.

1. **Interseção com o eixo y:** Quando $ x = 0 $, a função intersecta o eixo y no ponto (0, -1). Assim, temos:
   $$
   y = a + b \cos(0) = a + b = -1
   $$

2. **Valor máximo da função:** O valor máximo dado é $ y = 5 $. O valor máximo de $ \cos(x) $ é 1, então:
   $$
   a + b \cdot 1 = a + b = 5
   $$

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \
a + b = 5
\end{cases}
$$

No entanto, percebemos que houve um erro na interpretação, pois o sistema como está não faz sentido. Vamos reavaliar o problema:

- A função atinge seu valor máximo quando $ \cos(x) = 1 $, e nesse caso, $ y = a + b = 5 $.
- A interseção com o eixo y nos dá $ a + b = -1 $.

Vamos corrigir o sistema:

1. $ a + b = -1 $
2. $ a + b = 5 $

O correto é que o valor máximo da função ocorre quando $ y = a + |b| $ e não apenas $ a + b $. Portanto, a diferença entre o valor máximo e o valor na interseção é devido ao módulo de $ b $.

A equação correta para o valor máximo deve ser:
$$
a + |b| = 5
$$

Portanto, agora podemos resolver o sistema corretamente considerando o módulo:

1. $ a + b = -1 $
2. $ a + |b| = 5 $

Se $ b $ for negativo, então $ |b| = -b $.

Substituindo $ b = -b $ na segunda equação:
$$
a - b = 5
$$

Agora temos o sistema corrigido:
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \
a - b = 5
\end{cases}
$$

Somando as duas equações:
$$
2a = 4 \implies a = 2
$$

Substituindo $ a = 2 $ na primeira equação:
$$
2 + b = -1 \implies b = -3
$$

Agora que temos $ a = 2 $ e $ b = -3 $, podemos calcular a soma $ 5a + 2b $:
$$
5a + 2b = 5(2) + 2(-3) = 10 - 6 = 4
$$

**Resposta: 4**