(UPE) Considerando o sistema $ \left\{\begin{array}{l}5 x+3 y+4 z=3 \ 15 x+9 y+8 z=6 \ 20 x+12 y+16 z=12\end{array}\right. $, analise as afirmativas a seguir e conclua.
a) O sistema é impossível.
b) O sistema é possível e indeterminado. $ \gg $
c) O sistema é possível e determinado.
d) O sistema admite como solução única $ x=4, y=8, z=-11 $.
e) O sistema admite como solução, para qualquer valor de $ x $, a terna $ (x, x, 5 x) $.

Question

Accepted Answer

**Resposta: B**

Vamos analisar o sistema de equações lineares dado:

$$
\begin{cases}
5x + 3y + 4z = 3 \
15x + 9y + 8z = 6 \
20x + 12y + 16z = 12 
\end{cases}
$$

Podemos observar que as equações são múltiplos umas das outras.

Multiplicando a primeira equação por 3, obtemos:
$$ 3(5x + 3y + 4z) = 3 \cdot 3 $$
$$ 15x + 9y + 12z = 9 $$

Comparando com a segunda equação:
$$ 15x + 9y + 8z = 6 $$

Podemos ver que a diferença é:
$$ (15x + 9y + 12z) - (15x + 9y + 8z) = 9 - 6 $$
$$ 4z = 3 $$
$$ z = \frac{3}{4} $$

Isso mostra que há uma inconsistência, mas vamos verificar a terceira equação para garantir:

Multiplicando a primeira equação por 4, obtemos:
$$ 4(5x + 3y + 4z) = 4 \cdot 3 $$
$$ 20x + 12y + 16z = 12 $$

Comparando com a terceira equação:
$$ 20x + 12y + 16z = 12 $$

Aqui, as duas equações são idênticas, o que indica que a terceira equação não fornece nenhuma informação nova.

Portanto, o sistema possui mais equações do que variáveis e algumas dessas equações são linearmente dependentes, o que significa que o sistema é possível e indeterminado.

Logo, a alternativa correta é:
**B) O sistema é possível e indeterminado.**