(USJT-SP) Sendo sen x = √2/2 e x no 2º quadrante, então
sen(x - π/2) · cos(x - π/2) vale:
a) 0,25
b) 0,75
c) 0,5
d) 1
e) n.d.a.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos usar as identidades trigonométricas e a informação dada.

Dado:
$$
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Isso significa que $x$ é um ângulo no segundo quadrante com seno $\frac{\sqrt{2}}{2}$, ou seja, $x = \frac{3\pi}{4}$.

Queremos calcular:
$$
\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
$$

Usando as identidades de seno e cosseno para a diferença de ângulos:

$$
\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos x \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - \cos x = -\cos x
$$

E
$$
\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos x \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin x \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \sin x = \sin x
$$

Portanto, o produto é:
$$
(-\cos x) \cdot (\sin x) = -\cos x \cdot \sin x
$$

Sabemos que:
$$
\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$

Assim, $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (no segundo quadrante).

Então:
$$
-\cos x \cdot \sin x = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
$$

**Resposta: c) 0,5**

(USJT-SP) Sendo sen x = √2/2 e x no 2º quadrante, então sen(...

(USJT-SP) Sendo sen x = √2/2 e x no 2º quadrante, então sen(x - π/2) · cos(x - π/2) vale: a) 0,25 b) 0,75 c) 0,5 d) 1 e) n.d.a.

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