Utilizando a definição determina a transformada Z, a ROC, polos e zeros dos sinais:

a. $x[n] = 3 \left(\frac{2}{5}\right)^n u[n] + 7 \left(\frac{1}{6}\right)^n u[n]$

Question

Utilizando a definição determina a transformada Z, a ROC, polos e zeros dos sinais:

a. $x[n] = 3 \left(\frac{2}{5}\right)^n u[n] + 7 \left(\frac{1}{6}\right)^n u[n]$

Accepted Answer

Claro, vamos resolver o problema passo a passo utilizando a definição da Transformada Z e progressão geométrica. Dado o sinal: $x[n] = 3(\frac{2}{5})^n u[n] + 7(\frac{1}{6})^n u[n]$ Vamos separar em dois termos: $x_1[n] = 3(\frac{2}{5})^n u[n]$ $x_2[n] = 7(\frac{1}{6})^n u[n]$ A Transformada Z é definida como: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$ Para $x_1[n]$: $X_1(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} 3(\frac{2}{5})^n u[n]z^{-n}$ Como $u[n]$ é 0 para $n < 0$, a soma começa em 0: $X_1(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 3(\frac{2}{5})^n z^{-n}$ $X_1(z) = 3 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{5} z^{-1})^n$ Esta é uma progressão geométrica da forma $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$, onde $a = 1$ e $r = \frac{2}{5} z^{-1}$. A soma converge se $|r| < 1$, ou seja, $|\frac{2}{5} z^{-1}| < 1$, que implica $|z| > \frac{2}{5}$. $X_1(z) = 3 \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{5} z^{-1}}$ $X_1(z) = \frac{3}{1 - \frac{2}{5} z^{-1}}$ $X_1(z) = \frac{3z}{z - \frac{2}{5}}$ Para $x_2[n]$: $X_2(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} 7(\frac{1}{6})^n u[n]z^{-n}$ Como $u[n]$ é 0 para $n < 0$, a soma começa em 0: $X_2(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 7(\frac{1}{6})^n z^{-n}$ $X_2(z) = 7 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{6} z^{-1})^n$ Esta é uma progressão geométrica da forma $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$, onde $a = 1$ e $r = \frac{1}{6} z^{-1}$. A soma converge se $|r| < 1$, ou seja, $|\frac{1}{6} z^{-1}| < 1$, que implica $|z| > \frac{1}{6}$. $X_2(z) = 7 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{6} z^{-1}}$ $X_2(z) = \frac{7}{1 - \frac{1}{6} z^{-1}}$ $X_2(z) = \frac{7z}{z - \frac{1}{6}}$ A Transformada Z de $x[n]$ é a soma das transformadas de $x_1[n]$ e $x_2[n]$: $X(z) = X_1(z) + X_2(z)$ $X(z) = \frac{3z}{z - \frac{2}{5}} + \frac{7z}{z - \frac{1}{6}}$ Para encontrar uma expressão mais simples, podemos combinar as frações: $X(z) = \frac{3z(z - \frac{1}{6}) + 7z(z - \frac{2}{5})}{(z - \frac{2}{5})(z - \frac{1}{6})}$ $X(z) = \frac{3z^2 - \frac{1}{2}z + 7z^2 - \frac{14}{5}z}{z^2 - \frac{1}{6}z - \frac{2}{5}z + \frac{2}{30}}$ $X(z) = \frac{10z^2 - \frac{33}{10}z}{z^2 - \frac{17}{30}z + \frac{1}{15}}$ $X(z) = \frac{10z^2 - 3.3z}{z^2 - 0.5667z + 0.0667}$ Polos: Os polos são os valores de $z$ que fazem o denominador ser igual a zero. $z^2 - \frac{17}{30}z + \frac{1}{15} = 0$ $(z - \frac{2}{5})(z - \frac{1}{6}) = 0$ $z = \frac{2}{5}$ e $z = \frac{1}{6}$ Zeros: Os zeros são os valores de $z$ que fazem o numerador ser igual a zero. $10z^2 - \frac{33}{10}z = 0$ $z(10z - \frac{33}{10}) = 0$ $z = 0$ e $z = \frac{33}{100} = 0.33$ Região de Convergência (ROC): A ROC é a região onde ambas as somas convergem. Como temos $|z| > \frac{2}{5}$ e $|z| > \frac{1}{6}$, a ROC é a interseção dessas regiões, ou seja, $|z| > \frac{2}{5}$. Resumo: Transformada Z: $X(z) = \frac{10z^2 - \frac{33}{10}z}{z^2 - \frac{17}{30}z + \frac{1}{15}}$ Polos: $z = \frac{2}{5}$ e $z = \frac{1}{6}$ Zeros: $z = 0$ e $z = \frac{33}{100}$ ROC: $|z| > \frac{2}{5}$

Utilizando a definição determina a transformada Z, a ROC, po...