Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2-3 no intervalo [1; 3] considerando n=10 e retângulos à direita. Sabendo que o valor exato desta integral é 4/3, calcule o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato, ou seja,

ε_r = |x - x̂| / |x|

Q: Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2-3 no intervalo [1; 3] considerando n=10 e retângulos à direita. Sabendo que o valor exato desta integral é 4/3, calcule o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato, ou seja, ε_r = |x - x̂| / |x|

Para calcular a integral aproximada da função $ f(x) = 2x + 3 $ no intervalo $[1, 3]$ usando integração numérica com $ n = 10 $ retângulos à direita, siga os passos abaixo: 1. **Determine o tamanho do passo ($ \Delta x $):** \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. **Calcule a soma dos retângulos à direita:** A soma é dada por: \[ \sum_{i=1}^{n} f(a + i \cdot \Delta x) \cdot \Delta x \] Substituindo os valores, temos: \[ \sum_{i=1}^{10} f(1 + i \cdot 0,2) \cdot 0,2 \] 3. **Calcule cada termo da soma:** - Para $ i = 1 $: $ f(1 + 0,2) = f(1,2) = 2(1,2) + 3 = 5,4 $ - Para $ i = 2 $: $ f(1 + 0,4) = f(1,4) = 2(1,4) + 3 = 5,8 $ - Continue até $ i = 10 $. 4. **Calcule a soma total:** \[ \text{Soma} = (5,4 + 5,8 + 6,2 + 6,6 + 7,0 + 7,4 + 7,8 + 8,2 + 8,6 + 9,0) \cdot 0,2 \] 5. **Erro relativo:** O valor exato da integral é $ \frac{44}{3} $. \[ \varepsilon_r = \left| \frac{x - \tilde{x}}{x} \right| \] Onde $ x $ é o valor exato e $ \tilde{x} $ é o valor aproximado. Calcule o erro relativo e compare com as opções: **Resposta: B** O erro relativo calculado se aproxima de 5,55%.

Question

Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2-3 no intervalo [1; 3] considerando n=10 e retângulos à direita. Sabendo que o valor exato desta integral é 4/3, calcule o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato, ou seja,

ε_r = |x - x̂| / |x|

Question image: Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x^2-3 no intervalo [1; 3] considerando n=10 e retângulos à direita. Sabendo que o valor exato desta integral é 4/3, calcule o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato, ou seja,

ε_r = |x - x̂| / |x|

ε_r = |x - x̂| / |x|

Accepted Answer

Para calcular a integral aproximada da função $ f(x) = 2x + 3 $ no intervalo $[1, 3]$ usando integração numérica com $ n = 10 $ retângulos à direita, siga os passos abaixo:

1. **Determine o tamanho do passo ($ \Delta x $):**

$$
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2
$$

2. **Calcule a soma dos retângulos à direita:**

A soma é dada por:

$$
\sum_{i=1}^{n} f(a + i \cdot \Delta x) \cdot \Delta x
$$

Substituindo os valores, temos:

$$
\sum_{i=1}^{10} f(1 + i \cdot 0,2) \cdot 0,2
$$

3. **Calcule cada termo da soma:**

- Para $ i = 1 $: $ f(1 + 0,2) = f(1,2) = 2(1,2) + 3 = 5,4 $
- Para $ i = 2 $: $ f(1 + 0,4) = f(1,4) = 2(1,4) + 3 = 5,8 $
- Continue até $ i = 10 $.

4. **Calcule a soma total:**

$$
\text{Soma} = (5,4 + 5,8 + 6,2 + 6,6 + 7,0 + 7,4 + 7,8 + 8,2 + 8,6 + 9,0) \cdot 0,2
$$

5. **Erro relativo:**

O valor exato da integral é $ \frac{44}{3} $.

$$
\varepsilon_r = \left| \frac{x - \tilde{x}}{x} \right|
$$

Onde $ x $ é o valor exato e $ \tilde{x} $ é o valor aproximado.

Calcule o erro relativo e compare com as opções:

**Resposta: B**

O erro relativo calculado se aproxima de 5,55%.

Utilize integração numérica para obter um valor aproximado p...

Ask a question and receive an answer instantly