Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) (−A) ^T = −(A^T)
(b) (A + B)
T = B^T + A^T
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(d) (−A)(−B) = −(AB)
(e) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA.
(f) Se AB = 0, então BA = 0.
(g) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.

Question

Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) (−A)^T = −(A^T)
(b) (A + B)
T = B^T + A^T
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(d) (−A)(−B) = −(AB)
(e) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA.
(f) Se AB = 0, então BA = 0.
(g) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.

Accepted Answer

Vamos analisar cada uma das afirmações:

(a) $(−A)^T = −(A^T)$

$$
\textbf{Verdadeiro.}
$$

Justificação: A transposta de uma matriz negativa é igual à negativa da transposta da matriz. Formalmente, se $A$ é uma matriz, então $(−A)^T = −(A^T)$.

(b) $(A + B)^T = B^T + A^T$

$$
\textbf{Verdadeiro.}
$$

Justificação: A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas dessas matrizes, e a adição de matrizes é comutativa. Portanto, $(A + B)^T = A^T + B^T$, e como a adição é comutativa, temos $A^T + B^T = B^T + A^T$.

(c) Se $AB = 0$, então $A = 0$ ou $B = 0$.

$$
\textbf{Falso.}
$$

Justificação: Não é necessariamente verdade que se o produto de duas matrizes $A$ e $B$ é a matriz nula, então uma delas deve ser a matriz nula. Por exemplo, considere $A = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$. Aqui $AB = \begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$, mas nem $A$ nem $B$ são matrizes nulas.

(d) $(−A)(−B) = −(AB)$

$$
\textbf{Falso.}
$$

Justificação: Multiplicar duas matrizes negativas resulta na matriz original positiva. Portanto, $(−A)(−B) = AB$, não $-AB$.

(e) Se $A$ e $B$ são matrizes simétricas, então $AB = BA$.

$$
\textbf{Falso.}
$$

Justificação: Duas matrizes simétricas não necessariamente comutam sob multiplicação. Para que $AB = BA$, $A$ e $B$ devem comutar, o que não é garantido apenas pelo fato de serem simétricas.

(f) Se $AB = 0$, então $BA = 0$.

$$
\textbf{Falso.}
$$

Justificação: $AB = 0$ não implica necessariamente que $BA = 0$. A comutatividade do produto de matrizes não é garantida em geral. Por exemplo, considere $A = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 0 & 0\end{pmatrix}$. Aqui, $AB = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 0 & 0\end{pmatrix}$ e $BA = \begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$.

(g) Se podemos efetuar o produto $AA$, então $A$ é uma matriz quadrada.

$$
\textbf{Verdadeiro.}
$$

Justificação: Para que o produto $AA$ seja definido, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $A$. Isso só é possível se $A$ for uma matriz quadrada.