verifique se a função da de uma solução para a equação diferencial. C1 e C2 são constantes11. $ 2 y^{\prime}+y=0: y=e^{-y / 2} $
12. $ y^{\prime}+4 y=32 ; y=8 $

Question

Accepted Answer

Para verificar se as funções dadas são soluções das equações diferenciais respectivas, precisamos substituir a função (e sua derivada, quando aplicável) na equação diferencial e verificar se a igualdade é satisfeita.

### 1. $2y' + y = 0: y = e^{-\frac{y}{2}}$

Primeiro, notamos que há um erro na formulação da função $y$, pois não faz sentido expressar $y$ em termos de si mesmo dessa maneira. Parece haver um erro de digitação. Supondo que a função correta seja $y = e^{-\frac{x}{2}}$, vamos prosseguir com essa suposição para a verificação:

- Derivada de $y$: $y' = \frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{x}{2}}\right) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

Substituindo $y$ e $y'$ na equação diferencial:

$2(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}) + e^{-\frac{x}{2}} = 0$

Simplificando:

$-e^{-\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}} = 0$

A igualdade é satisfeita, então $y = e^{-\frac{x}{2}}$ é uma solução para a equação diferencial $2y' + y = 0$.

### 2. $y' + 4y = 32; y = 8$

Aqui, vamos verificar se $y = 8$ é solução da equação diferencial dada:

- Derivada de $y$: Como $y = 8$ é uma constante, $y' = 0$.

Substituindo $y$ e $y'$ na equação diferencial:

$0 + 4(8) = 32$

Simplificando:

$32 = 32$

A igualdade é satisfeita, então $y = 8$ é de fato uma solução para a equação diferencial $y' + 4y = 32$.

Portanto, após correção no primeiro caso, ambas as funções dadas são soluções para suas respectivas equações diferenciais.

verifique se a função da de uma solução para a equação diferencial. C1 e C2 são constantes11. \( 2 y^{\prime}+y=0: y=e^{-y / 2} \) 12. \( y^{\prime}+4 y=32 ; y=8 \)