Você está analisando o resfriamento de um objeto metálico quente em um ambiente com temperatura constante. A temperatura T(t) do objeto é descrita pela equação diferencial separável:
$$\frac{dT(t)}{dt} = -k(T(t)-T_{amb})$$
onde:

⚫ ké a constante de resfriamento, em $s^{-1}$,
$T_{amb}$ é a temperatura ambiente, em graus Celsius,
T(t) é a temperatura do objeto no tempo t, em graus Celsius.
Considerando que a temperatura inicial do objeto é T(0)=100 °C, a temperatura ambiente é $T_{amb}=25°C$ e $k = 0.1s^{-1}$, assinale a alternativa que representa a solução da equação diferencial que descreve como a temperatura do motor diminui ao longo do tempo, o que é crucial para garantir a segurança e a eficiência do sistema.

Lembre que:
$e^{x+y} = e^x \cdot e^y \cdot e^z \cdot c_2$
$e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x$
$\int \frac{1}{a+z} dx = \ln(|a+z|) + C$

O A T(t) = 9.8($e^{-t}-1$)

O B T(t) = 9.8(1-$e^{-t}$)

O C T(t) = 75 + 25$e^{t}$

O D T(t) = 25 + 75$e^{-0.1t}$

Q: Você está analisando o resfriamento de um objeto metálico quente em um ambiente com temperatura constante. A temperatura T(t) do objeto é descrita pela equação diferencial separável: $$\frac{dT(t)}{dt} = -k(T(t)-T_{amb})$$ onde: ⚫ ké a constante de resfriamento, em $s^{-1}$, $T_{amb}$ é a temperatura ambiente, em graus Celsius, T(t) é a temperatura do objeto no tempo t, em graus Celsius. Considerando que a temperatura inicial do objeto é T(0)=100 °C, a temperatura ambiente é $T_{amb}=25°C$ e $k = 0.1s^{-1}$, assinale a alternativa que representa a solução da equação diferencial que descreve como a temperatura do motor diminui ao longo do tempo, o que é crucial para garantir a segurança e a eficiência do sistema. Lembre que: $e^{x+y} = e^x \cdot e^y \cdot e^z \cdot c_2$ $e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x$ $\int \frac{1}{a+z} dx = \ln(|a+z|) + C$ O A T(t) = 9.8($e^{-t}-1$) O B T(t) = 9.8(1-$e^{-t}$) O C T(t) = 75 + 25$e^{t}$ O D T(t) = 25 + 75$e^{-0.1t}$

**Resposta: D** A equação diferencial dada é: \[ \frac{dT(t)}{dt} = -k(T(t) - T_{amb}) \] onde $ k = 0.1 $ e $ T_{amb} = 25 $. Assim, temos: \[ \frac{dT(t)}{dt} = -0.1(T(t) - 25) \] Podemos resolver esta equação diferencial separável: \[ \frac{dT}{T - 25} = -0.1 dt \] Integrando ambos os lados: \[ \int \frac{dT}{T - 25} = \int -0.1 dt \] \[ \ln|T - 25| = -0.1t + C \] Exponenciando ambos os lados: \[ |T - 25| = e^{-0.1t + C} = e^C e^{-0.1t} \] \[ T(t) - 25 = Ae^{-0.1t} \] onde $ A = \pm e^C $. \[ T(t) = 25 + Ae^{-0.1t} \] Agora, usamos a condição inicial $ T(0) = 100 $: \[ 100 = 25 + Ae^{-0.1 \cdot 0} \] \[ 100 = 25 + A \] \[ A = 75 \] Portanto, a solução é: \[ T(t) = 25 + 75e^{-0.1t} \] Assim, a alternativa correta é a D.

Question

Você está analisando o resfriamento de um objeto metálico quente em um ambiente com temperatura constante. A temperatura T(t) do objeto é descrita pela equação diferencial separável:
$$\frac{dT(t)}{dt} = -k(T(t)-T_{amb})$$
onde:

⚫ ké a constante de resfriamento, em $s^{-1}$,
$T_{amb}$ é a temperatura ambiente, em graus Celsius,
T(t) é a temperatura do objeto no tempo t, em graus Celsius.
Considerando que a temperatura inicial do objeto é T(0)=100 °C, a temperatura ambiente é $T_{amb}=25°C$ e $k = 0.1s^{-1}$, assinale a alternativa que representa a solução da equação diferencial que descreve como a temperatura do motor diminui ao longo do tempo, o que é crucial para garantir a segurança e a eficiência do sistema.

Lembre que:
$e^{x+y} = e^x \cdot e^y \cdot e^z \cdot c_2$
$e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x$
$\int \frac{1}{a+z} dx = \ln(|a+z|) + C$

O A T(t) = 9.8($e^{-t}-1$)

O B T(t) = 9.8(1-$e^{-t}$)

O C T(t) = 75 + 25$e^{t}$

O D T(t) = 25 + 75$e^{-0.1t}$

Accepted Answer

**Resposta: D**

A equação diferencial dada é:
$$
\frac{dT(t)}{dt} = -k(T(t) - T_{amb})
$$
onde $ k = 0.1 $ e $ T_{amb} = 25 $. Assim, temos:
$$
\frac{dT(t)}{dt} = -0.1(T(t) - 25)
$$
Podemos resolver esta equação diferencial separável:
$$
\frac{dT}{T - 25} = -0.1 dt
$$
Integrando ambos os lados:
$$
\int \frac{dT}{T - 25} = \int -0.1 dt
$$
$$
\ln|T - 25| = -0.1t + C
$$
Exponenciando ambos os lados:
$$
|T - 25| = e^{-0.1t + C} = e^C e^{-0.1t}
$$
$$
T(t) - 25 = Ae^{-0.1t}
$$
onde $ A = \pm e^C $.
$$
T(t) = 25 + Ae^{-0.1t}
$$
Agora, usamos a condição inicial $ T(0) = 100 $:
$$
100 = 25 + Ae^{-0.1 \cdot 0}
$$
$$
100 = 25 + A
$$
$$
A = 75
$$
Portanto, a solução é:
$$
T(t) = 25 + 75e^{-0.1t}
$$
Assim, a alternativa correta é a D.

Perguntas relacionadas