y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1]

Considerando as seguintes afirmações:

i. A resposta ao impulso é h[n] = 0,25u[n]
ii. A RDC está definida para |z| 0,25
iii. O sistema não é estável

Question

y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1]

Considerando as seguintes afirmações:

i. A resposta ao impulso é h[n] = 0,25u[n]
ii. A RDC está definida para |z| > 0,25
iii. O sistema não é estável

Accepted Answer

Para analisar as afirmações, vamos primeiro entender a equação de diferenças do sistema:

$$ y[n] = x[n] + 0,25y[n-1] $$

**i. A resposta ao impulso é $ h[n] = 0,25u[n] $**

Para encontrar a resposta ao impulso, consideramos a entrada $ x[n] = \delta[n] $. A equação se torna:

$$ y[n] = \delta[n] + 0,25y[n-1] $$

Calculando os primeiros termos:
- $ y[0] = \delta[0] = 1 $
- $ y[1] = 0,25y[0] = 0,25 $
- $ y[2] = 0,25y[1] = 0,25^2 $

A resposta ao impulso é uma sequência geométrica:

$$ h[n] = 0,25^n u[n] $$

Portanto, a afirmação i está **incorreta**.

**ii. A RDC está definida para $|z| > 0,25$**

A função de transferência $ H(z) $ é obtida pela transformada Z da equação de diferenças:

$$ H(z) = \frac{1}{1 - 0,25z^{-1}} $$

A região de convergência (RDC) para este sistema causal é $|z| > 0,25$.

Portanto, a afirmação ii está **correta**.

**iii. O sistema não é estável**

Um sistema é estável se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário no plano Z. O polo do sistema está em $ z = 0,25 $, que está dentro do círculo unitário.

Portanto, a afirmação iii está **incorreta**.

**Conclusão:** Apenas a afirmação ii está correta.

y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1] Considerando as seguintes afirma...

y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1]

Considerando as seguintes afirmações:

i. A resposta ao impulso é h[n] = 0,25u[n] ii. A RDC está definida para |z| > 0,25 iii. O sistema não é estável

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y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1] Considerando as seguintes afirma...

y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1] Considerando as seguintes afirmações: i. A resposta ao impulso é h[n] = 0,25u[n] ii. A RDC está definida para |z| > 0,25 iii. O sistema não é estável

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y[n] = x[n] + 0,25y[n - 1]

Considerando as seguintes afirmações:

i. A resposta ao impulso é h[n] = 0,25u[n] ii. A RDC está definida para |z| > 0,25 iii. O sistema não é estável