Três cargas elétricas idênticas iguais a Q estão distribuídas nos vértices de um triângulo equilátero de lado d posicionado no plano vertical, de acordo com a figura. As cargas em A e B estão fixas, enquanto em C a carga está livre. Sendo k a constante eletrostática no vácuo e g a aceleração da gravidade, para que a carga colocada no vértice C permaneça em equilíbrio é necessário que sua massa seja igual a:

Question

Accepted Answer

Para que a carga no vértice C permaneça em equilíbrio, devemos considerar as forças eletrostáticas atuando sobre ela devido às cargas nos vértices A e B, bem como a força gravitacional.

1. **Força eletrostática entre as cargas:**

A força eletrostática entre duas cargas $ Q $ separadas por uma distância $ d $ é dada pela Lei de Coulomb:
$$ F_e = k \frac{Q^2}{d^2} $$

Como o triângulo é equilátero, as forças eletrostáticas das cargas em A e B sobre a carga em C têm a mesma magnitude $ F_e $.

2. **Componentes das forças eletrostáticas:**

As forças eletrostáticas $ F_{eA} $ e $ F_{eB} $ entre as cargas A-C e B-C, respectivamente, formam um ângulo de 60° com a horizontal. As componentes horizontais dessas forças se cancelam, deixando apenas as componentes verticais para serem somadas.

A componente vertical de cada força é:
$$ F_{e\text{vertical}} = F_e \sin(60^\circ) = F_e \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Portanto, a soma das componentes verticais das forças eletrostáticas é:
$$ F_{e\text{total vertical}} = 2 \cdot F_e \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = F_e \sqrt{3} $$

Substituindo $ F_e $:
$$ F_{e\text{total vertical}} = \sqrt{3} \cdot k \frac{Q^2}{d^2} $$

3. **Equilíbrio da carga em C:**

Para que a carga em C permaneça em equilíbrio, a força eletrostática total vertical deve equilibrar a força gravitacional atuando sobre a massa $ m $ da carga:
$$ F_{e\text{total vertical}} = F_g $$
$$ \sqrt{3} \cdot k \frac{Q^2}{d^2} = mg $$

4. **Encontrando a massa $ m $:**
$$ m = \frac{\sqrt{3} \cdot k \frac{Q^2}{d^2}}{g} $$
$$ m = \frac{\sqrt{3} k Q^2}{d^2 g} $$

Portanto, a massa necessária para que a carga colocada no vértice C permaneça em equilíbrio é:
$$ m = \frac{\sqrt{3} k Q^2}{d^2 g} $$

Três cargas elétricas idênticas iguais a Q estão distribuída...

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