10. O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele parmanece no ar durante 2 s.
(a) Em que ângulo ele foi lançado?
(b) Qual foi a velocidade inicial?
(c) Qual foi o alcance?

Question

10. O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele parmanece no ar durante 2 s.
(a) Em que ângulo ele foi lançado?
(b) Qual foi a velocidade inicial?
(c) Qual foi o alcance?

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos usar as equações do movimento de projéteis. Vamos dividir o problema em partes e resolver cada uma delas.

### (a) Em que ângulo ele foi lançado?

Sabemos que o alcance $ R $ é 4 vezes a altura máxima $ H $. Além disso, o tempo total de voo é de 2 segundos.

1. **Tempo de voo:**
   O tempo total de voo para um projétil é dado por:
   $$
   T = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}
   $$
   Onde $ T = 2 $ s e $ g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 $.

Substituindo $ T $:
   $$
   2 = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{9.8} \implies v_0 \sin(\theta) = 9.8
   $$

2. **Altura máxima:**
   A altura máxima é dada por:
   $$
   H = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g}
   $$

3. **Alcance:**
   O alcance é dado por:
   $$
   R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
   $$
   E sabemos que $ R = 4H $.

Substituindo $ H $ na expressão de $ R $:
   $$
   R = 4 \left( \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g} \right)
   $$
   $$
   \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = 4 \left( \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g} \right)
   $$
   Simplificando, temos:
   $$
   \sin(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)
   $$
   Usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $:
   $$
   2 \sin(\theta) \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta)
   $$
   Dividindo ambos os lados por $ 2 \sin(\theta) $:
   $$
   \cos(\theta) = \sin(\theta)
   $$
   Portanto, $ \theta = 45^\circ $.

**Resposta: $ \theta = 45^\circ $**

### (b) Qual foi a velocidade inicial?

Usando a relação $ v_0 \sin(\theta) = 9.8 $:
$$
v_0 \sin(45^\circ) = 9.8
$$
$$
v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9.8
$$
$$
v_0 = \frac{9.8 \cdot 2}{\sqrt{2}}
$$
$$
v_0 = \frac{19.6}{\sqrt{2}}
$$
$$
v_0 = 9.8\sqrt{2} \approx 13.86 \, \text{m/s}
$$

**Resposta: $ v_0 \approx 13.86 \, \text{m/s} $**

### (c) Qual foi o alcance?

O alcance é dado por:
$$
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
$$
Substituindo $ v_0 $ e $ \theta $:
$$
R = \frac{(13.86)^2 \sin(90^\circ)}{9.8}
$$
$$
R = \frac{192.04 \cdot 1}{9.8}
$$
$$
R \approx 19.6 \, \text{m}
$$

**Resposta: $ R \approx 19.6 \, \text{m} $**

10. O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele parmanece no ar durante 2 s. (a) Em que ângulo ele foi lançado? (b) Qual foi a velocidade inicial? (c) Qual foi o alcance?

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