6 – Na figura, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda de massa desprezível é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e sustenta uma caixa de 3 kg por sua extremidade livre. A corda não desliza na superfície da polia. O cilindro tem massa uniforme Mc=5 kg e raio de Rc= 40 cm. A polia é um disco uniforme de massa Mp=2 kg e raio de Rp=20 cm. A caixa é liberada a partir do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade da caixa após ela ter caído 1,5 m. Os momentos de inércia do cilindro e do disco são dados por I = 1/2 MR²
E
Emanuel
02/09/24

Question

Question image: 6 – Na figura, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda de massa desprezível é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e sustenta uma caixa de 3 kg por sua extremidade livre. A corda não desliza na superfície da polia. O cilindro tem massa uniforme Mc=5 kg e raio de Rc= 40 cm. A polia é um disco uniforme de massa Mp=2 kg e raio de Rp=20 cm. A caixa é liberada a partir do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade da caixa após ela ter caído 1,5 m. Os momentos de inércia do cilindro e do disco são dados por I = 1/2 MR²

6 – Na figura, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda de massa desprezível é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e sustenta uma caixa de 3 kg por sua extremidade livre. A corda não desliza na superfície da polia. O cilindro tem massa uniforme Mc=5 kg e raio de Rc= 40 cm. A polia é um disco uniforme de massa Mp=2 kg e raio de Rp=20 cm. A caixa é liberada a partir do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade da caixa após ela ter caído 1,5 m. Os momentos de inércia do cilindro e do disco são dados por I = 1/2 MR²

E

Emanuel

02/09/24

Accepted Answer

Para resolver esse problema, utilizaremos a conservação da energia mecânica. A energia potencial gravitacional perdida pela caixa será convertida em energia cinética translacional da caixa e em energia cinética rotacional do cilindro e da polia.

Dados:
- Massa da caixa ($m_c$) = 3 kg
- Massa do cilindro ($M_c$) = 5 kg
- Raio do cilindro ($R_c$) = 0,4 m
- Massa da polia ($M_p$) = 2 kg
- Raio da polia ($R_p$) = 0,2 m
- Distância de queda = 1,5 m
- $I = \frac{1}{2}MR^2$

### Passos:

1. **Energia Potencial Inicial:**

$$
   U_i = m_c \cdot g \cdot h = 3 \cdot 9,8 \cdot 1,5
   $$

2. **Energia Cinética Translacional da Caixa:**

$$
   K_t = \frac{1}{2}m_c \cdot v^2
   $$

3. **Energia Cinética Rotacional do Cilindro:**

$$
   K_{r,c} = \frac{1}{2}I_c \cdot \omega_c^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}M_c \cdot R_c^2\right) \cdot \left(\frac{v}{R_c}\right)^2
   $$

4. **Energia Cinética Rotacional da Polia:**

$$
   K_{r,p} = \frac{1}{2}I_p \cdot \omega_p^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}M_p \cdot R_p^2\right) \cdot \left(\frac{v}{R_p}\right)^2
   $$

5. **Conservação da Energia:**

$$
   U_i = K_t + K_{r,c} + K_{r,p}
   $$

Substituindo as expressões:

$$
3 \cdot 9,8 \cdot 1,5 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot v^2 + \frac{1}{4} \cdot 5 \cdot \left(\frac{v}{0,4}\right)^2 \cdot 0,4^2 + \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \left(\frac{v}{0,2}\right)^2 \cdot 0,2^2
$$

Simplificando:

$$
44,1 = \frac{3}{2}v^2 + \frac{5}{4}v^2 + \frac{1}{2}v^2
$$

$$
44,1 = \left(\frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{2}\right)v^2
$$

$$
44,1 = \left(\frac{6}{4} + \frac{5}{4} + \frac{2}{4}\right)v^2
$$

$$
44,1 = \frac{13}{4}v^2
$$

$$
v^2 = \frac{44,1 \cdot 4}{13}
$$

$$
v^2 = \frac{176,4}{13}
$$

$$
v^2 = 13,569
$$

$$
v \approx 3,68 \, \text{m/s}
$$

Portanto, a velocidade da caixa após cair 1,5 m é aproximadamente $3,68 \, \text{m/s}$.

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