A Figura E11.2 indica o centro de gravidade de um
objeto irregular de 5,00 kg. Você necessita mover o centro de
gravidade por 2,20 cm para a esquerda, colando uma pequenina massa de 1,50 kg, que passará a ser considerada como
parte do objeto. Onde você deve colar essa massa adicional?

Question

A Figura E11.2 indica o centro de gravidade de um 
objeto irregular de 5,00 kg. Você necessita mover o centro de 
gravidade por 2,20 cm para a esquerda, colando uma pequenina massa de 1,50 kg, que passará a ser considerada como 
parte do objeto. Onde você deve colar essa massa adicional?

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos utilizar o conceito de centro de massa (ou centro de gravidade) de um sistema. O centro de massa de um sistema pode ser deslocado ao adicionar massa em uma posição específica. A fórmula que usaremos é:

$$
x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}
$$

Onde $x_{cm}$ é a posição do centro de massa do sistema, $m_i$ são as massas dos objetos individuais, e $x_i$ são as posições dessas massas em relação a um ponto de referência comum.

Dado que queremos mover o centro de gravidade por 2,20 cm para a esquerda, podemos estabelecer o seguinte:

- A massa original do objeto é $m_1 = 5,00 \, \text{kg}$, e sua posição pode ser considerada $x_1 = 0$ como referência inicial.
- A massa que será adicionada é $m_2 = 1,50 \, \text{kg}$, e precisamos encontrar sua posição $x_2$ para que o novo centro de gravidade do sistema seja deslocado por 2,20 cm para a esquerda.

Vamos considerar que o deslocamento desejado do centro de massa (para a esquerda) implica em uma nova posição do centro de massa $x'_{cm} = -2,20 \, \text{cm}$ em relação ao centro de massa original.

A equação para o novo centro de massa, considerando a adição da nova massa, fica:

$$
x'_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}
$$

Substituindo $x'_{cm}$ por -2,20 cm, $m_1$ por 5,00 kg, $m_2$ por 1,50 kg, e $x_1$ por 0 (já que é nosso ponto de referência), temos:

$$
-2,20 = \frac{(5,00 \times 0) + (1,50 \times x_2)}{5,00 + 1,50}
$$

Simplificando a expressão:

$$
-2,20 = \frac{1,50 \times x_2}{6,50}
$$

Multiplicando ambos os lados por 6,50:

$$
-2,20 \times 6,50 = 1,50 \times x_2
$$

$$
-14,30 = 1,50 \times x_2
$$

Finalmente, dividimos ambos os lados por 1,50 para encontrar $x_2$:

$$
x_2 = \frac{-14,30}{1,50}
$$

$$
x_2 = -9,53 \, \text{cm}
$$

Portanto, para alcançar o deslocamento desejado do centro de gravidade, você deve colar a massa adicional de 1,50 kg a uma distância de 9,53 cm para a esquerda do centro de gravidade original do objeto.

A Figura E11.2 indica o centro de gravidade de um objeto irregular de 5,00 kg. Você necessita mover o centro de gravidade por 2,20 cm para a esquerda, colando uma pequenina massa de 1,50 kg, que passará a ser considerada como parte do objeto. Onde você deve colar essa massa adicional?

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