🔹 Exercícios: Calcule as derivadas das funções
(a) y = 4x - 3x²
(b) y = √x (Dica: √x = x^(1/2))
(c) y = x³ - 3x + 1
(d) y = 2x + 1 / (x + 2) Dica: f(x) = 2x + 1, g(x) = x + 2
(e) y = √(1 - 2x²) Dica: f(x) = √(8x), g(x) = -2x
(f) y = x^(-2)
(g) y = (3√x - 1) / (√x + 1) Dica: 3/√x = x^(-1/3), h(x) = 3√x - 1, g(x) = √x + 1
(h) y = x² + 2x Dica: f(x) = x², g(x) = mn 2x
(i) y = e^(2x) cos(3x) Dica: f(x) = e^(2x), g(x) = cos(3x)
(j) y = (x² - 1)⁵ Dica: h(x) = (g(x))⁵, g(x) = x² - 1
(k) y = √(x - e^x) Dica: f(x) = √(8x), g(x) = x - e^x

Q: 🔹 Exercícios: Calcule as derivadas das funções (a) y = 4x - 3x² (b) y = √x (Dica: √x = x^(1/2)) (c) y = x³ - 3x + 1 (d) y = 2x + 1 / (x + 2) Dica: f(x) = 2x + 1, g(x) = x + 2 (e) y = √(1 - 2x²) Dica: f(x) = √(8x), g(x) = -2x (f) y = x^(-2) (g) y = (3√x - 1) / (√x + 1) Dica: 3/√x = x^(-1/3), h(x) = 3√x - 1, g(x) = √x + 1 (h) y = x² + 2x Dica: f(x) = x², g(x) = mn 2x (i) y = e^(2x) cos(3x) Dica: f(x) = e^(2x), g(x) = cos(3x) (j) y = (x² - 1)⁵ Dica: h(x) = (g(x))⁵, g(x) = x² - 1 (k) y = √(x - e^x) Dica: f(x) = √(8x), g(x) = x - e^x

Vamos calcular as derivadas das funções dadas: (a) $ y = 4x - 3x^2 $ \[ y' = 4 - 6x \] (b) $ y = \sqrt{x} $ \[ y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \] (c) $ y = x^3 - 3x + 1 $ \[ y' = 3x^2 - 3 \] (d) $ y = \frac{2x+1}{x+2} $ Usando a regra do quociente: \[ y' = \frac{(2)(x+2) - (2x+1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2} \] (e) $ y = \sqrt{1-2x} $ \[ y' = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} \] (f) $ y = x^{-2} $ \[ y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \] (g) $ y = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} $ Usando a regra do quociente e simplificando: \[ y' = \frac{\left(\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)(\sqrt{x} + 1) - \left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)(\sqrt[3]{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2} \] (h) $ y = x^2 \ln 2x $ Usando a regra do produto: \[ y' = 2x \ln 2x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln 2x + x \] (i) $ y = e^{2x} \cos(-3x) $ Usando a regra do produto: \[ y' = e^{2x}(-3 \sin(-3x)) + 2e^{2x} \cos(-3x) = -3e^{2x} \sin(3x) + 2e^{2x} \cos(-3x) \] (j) $ y = (x^2 - 1)^5 $ Usando a regra da cadeia: \[ y' = 5(x^2 - 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 - 1)^4 \] (k) $ y = \sqrt{x - e^x} $ Usando a regra da cadeia: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x - e^x}}(1 - e^x) \] Essas são as derivadas das funções dadas.

Question

Accepted Answer

Vamos calcular as derivadas das funções dadas:

(a) $ y = 4x - 3x^2 $

$$
y' = 4 - 6x
$$

(b) $ y = \sqrt{x} $

$$
y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
$$

(c) $ y = x^3 - 3x + 1 $

$$
y' = 3x^2 - 3
$$

(d) $ y = \frac{2x+1}{x+2} $

Usando a regra do quociente:

$$
y' = \frac{(2)(x+2) - (2x+1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}
$$

(e) $ y = \sqrt{1-2x} $

$$
y' = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}}
$$

(f) $ y = x^{-2} $

$$
y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
$$

(g) $ y = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} $

Usando a regra do quociente e simplificando:

$$
y' = \frac{\left(\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)(\sqrt{x} + 1) - \left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)(\sqrt[3]{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2}
$$

(h) $ y = x^2 \ln 2x $

Usando a regra do produto:

$$
y' = 2x \ln 2x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln 2x + x
$$

(i) $ y = e^{2x} \cos(-3x) $

Usando a regra do produto:

$$
y' = e^{2x}(-3 \sin(-3x)) + 2e^{2x} \cos(-3x) = -3e^{2x} \sin(3x) + 2e^{2x} \cos(-3x)
$$

(j) $ y = (x^2 - 1)^5 $

Usando a regra da cadeia:

$$
y' = 5(x^2 - 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 - 1)^4
$$

(k) $ y = \sqrt{x - e^x} $

Usando a regra da cadeia:

$$
y' = \frac{1}{2\sqrt{x - e^x}}(1 - e^x)
$$

Essas são as derivadas das funções dadas.