Questalo 3 - A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direçalo a boca da arma e dada por
$$
v=\left(-5,00 \times 10^{7}\right) t^{2}+\left(3,00 \times 10^{5}\right) t
$$

Onde v é dado em metros por segundo e t em segundos. A aceleração da bala assim que sai pelo cano è zero.
(a) Determine a aceleraçăo e posiçao da bala como funçoes do tempo quando a bala esta no cano
(b) Determine o intervalo de tempo durante 0 qual a bala e acelerada.
(c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.
(d) Qual é o comprimento do cano?

Question

Questalo 3 - A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direçalo a boca da arma e dada por
$$
v=\left(-5,00 \times 10^{7}\right) t^{2}+\left(3,00 \times 10^{5}\right) t
$$

Onde v é dado em metros por segundo e t em segundos. A aceleração da bala assim que sai pelo cano è zero.
(a) Determine a aceleraçăo e posiçao da bala como funçoes do tempo quando a bala esta no cano
(b) Determine o intervalo de tempo durante 0 qual a bala e acelerada.
(c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.
(d) Qual é o comprimento do cano?

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte da questão passo a passo.

### (a) Determine a aceleração e posição da bala como funções do tempo quando a bala está no cano

A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo:

$$ v(t) = (-5,00 \times 10^{7}) t^2 + (3,00 \times 10^{5}) t $$

Derivando $ v(t) $:

$$ a(t) = \frac{dv}{dt} $$
$$ a(t) = \frac{d}{dt} \left[ (-5,00 \times 10^{7}) t^2 + (3,00 \times 10^{5}) t \right] $$
$$ a(t) = -10,00 \times 10^{7} t + 3,00 \times 10^{5} $$
$$ a(t) = -1,00 \times 10^{8} t + 3,00 \times 10^{5} $$

A posição $ s(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $:

$$ s(t) = \int v(t) \, dt $$
$$ s(t) = \int \left[ (-5,00 \times 10^{7}) t^2 + (3,00 \times 10^{5}) t \right] dt $$
$$ s(t) = \left( -\frac{5,00 \times 10^{7}}{3} \right) t^3 + \left( \frac{3,00 \times 10^{5}}{2} \right) t^2 + C $$

Assumindo que a posição inicial $ s(0) = 0 $, temos $ C = 0 $:

$$ s(t) = -\frac{5,00 \times 10^{7}}{3} t^3 + \frac{3,00 \times 10^{5}}{2} t^2 $$

### (b) Determine o intervalo de tempo durante o qual a bala é acelerada

A bala é acelerada enquanto sua velocidade aumenta até atingir o máximo. A aceleração torna-se zero quando a derivada da velocidade é zero:

$$ a(t) = -1,00 \times 10^{8} t + 3,00 \times 10^{5} = 0 $$

Resolvendo para $ t $:

$$ -1,00 \times 10^{8} t + 3,00 \times 10^{5} = 0 $$
$$ t = \frac{3,00 \times 10^{5}}{1,00 \times 10^{8}} $$
$$ t = 3,00 \times 10^{-3} \, \text{s} $$

Portanto, o intervalo de tempo durante o qual a bala é acelerada é de $ 0 $ a $ 3,00 \times 10^{-3} $ segundos.

### (c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano

A velocidade com a qual a bala sai do cano é a velocidade no instante $ t = 3,00 \times 10^{-3} $ s:

$$ v(3,00 \times 10^{-3}) = (-5,00 \times 10^{7})(3,00 \times 10^{-3})^2 + (3,00 \times 10^{5})(3,00 \times 10^{-3}) $$
$$ v(3,00 \times 10^{-3}) = (-5,00 \times 10^{7})(9,00 \times 10^{-6}) + (3,00 \times 10^{5})(3,00 \times 10^{-3}) $$
$$ v(3,00 \times 10^{-3}) = -450 + 900 $$
$$ v(3,00 \times 10^{-3}) = 450 \, \text{m/s} $$

### (d) Qual é o comprimento do cano?

O comprimento do cano é a posição da bala no instante $ t = 3,00 \times 10^{-3} $ s:

$$ s(3,00 \times 10^{-3}) = -\frac{5,00 \times 10^{7}}{3} (3,00 \times 10^{-3})^3 + \frac{3,00 \times 10^{5}}{2} (3,00 \times 10^{-3})^2 $$
$$ s(3,00 \times 10^{-3}) = -\frac{5,00 \times 10^{7}}{3} (27,00 \times 10^{-9}) + \frac{3,00 \times 10^{5}}{2} (9,00 \times 10^{-6}) $$
$$ s(3,00 \times 10^{-3}) = -\frac{1350 \times 10^{-2}}{3} + \frac{1350 \times 10^{-1}}{2} $$
$$ s(3,00 \times 10^{-3}) = -4,50 + 67,50 $$
$$ s(3,00 \times 10^{-3}) = 63,00 \, \text{cm} $$

Portanto, o comprimento do cano é de 63 cm.