QUESTÃO 3 (20 PONTOS)
Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial U(x) do tipo

U(x) = ax²,
sendo a uma constante real e positiva.

a) (2 Pontos). Se U é a energia potencial dada na unidade J (Joule), qual é a unidade de a se x é dada em metros (m).

b) (8 Pontos). Com base no potencial U(x), calcule a componente da força F̅.

c) (10 Pontos). Trace o gráfico de U em relação a x. Faça uma análise do movimento da partícula e identifique a existência de pontos de equilíbrio e classifique. JUSTIFIQUE.

Question

QUESTÃO 3 (20 PONTOS)
Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial U(x) do tipo

U(x) = ax²,
sendo a uma constante real e positiva.

a) (2 Pontos). Se U é a energia potencial dada na unidade J (Joule), qual é a unidade de a se x é dada em metros (m).

b) (8 Pontos). Com base no potencial U(x), calcule a componente da força F̅.

c) (10 Pontos). Trace o gráfico de U em relação a x. Faça uma análise do movimento da partícula e identifique a existência de pontos de equilíbrio e classifique. JUSTIFIQUE.

Accepted Answer

Vamos resolver cada item da questão:

a) A energia potencial $ U(x) = ax^2 $ tem unidade de Joules (J). Como $ x $ é dado em metros (m), a unidade de $ a $ deve ser tal que quando multiplicada por $ x^2 $ resulte em Joules. Assim, a unidade de $ a $ é J/m².

b) A força $\mathbf{F}$ é o negativo do gradiente do potencial. Para uma dimensão:

$$
F(x) = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx}(ax^2) = -2ax
$$

c) O gráfico de $ U(x) = ax^2 $ é uma parábola com concavidade voltada para cima.

Análise do movimento e pontos de equilíbrio:
- O ponto de equilíbrio ocorre quando a força é zero: $ F(x) = 0 \Rightarrow -2ax = 0 \Rightarrow x = 0 $.
- Para classificar o equilíbrio, analisamos a segunda derivada do potencial, que é constante e positiva ($ \frac{d^2U}{dx^2} = 2a $), indicando que $ x = 0 $ é um ponto de equilíbrio estável (mínimo do potencial).

Justificativa: A força restauradora tende a trazer a partícula de volta para $ x = 0 $ se ela for deslocada, confirmando que é um equilíbrio estável.

QUESTÃO 3 (20 PONTOS) Uma partícula de massa m está sujeita ...

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