Um bloco de 6,0 kg escorrega 1,5 m abaixo sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo de 60° com a horizontal. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco e encontre o trabalho realizado por cada força, enquanto o bloco escorrega 1,5 m (medidos ao longo do plano inclinado). (b) Qual é o trabalho total realizado sobre o bloco? (c) Qual é a rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m, se ele parte do repouso? (d) Qual é sua rapidez, após 1,5 m, se ele parte com uma rapidez inicial de 2,0 m/s?
k
kemilly_ufopa
03/08/24

Question

Um bloco de 6,0 kg escorrega 1,5 m abaixo sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo de 60° com a horizontal. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco e encontre o trabalho realizado por cada força, enquanto o bloco escorrega 1,5 m (medidos ao longo do plano inclinado). (b) Qual é o trabalho total realizado sobre o bloco? (c) Qual é a rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m, se ele parte do repouso? (d) Qual é sua rapidez, após 1,5 m, se ele parte com uma rapidez inicial de 2,0 m/s?

k

kemilly_ufopa

03/08/24

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### Parte (a): Diagrama de Corpo Livre e Trabalho Realizado por Cada Força

1. **Diagrama de Corpo Livre:**
   - O bloco está sujeito a três forças principais:
     - A força da gravidade ($mg$), atuando verticalmente para baixo.
     - A força normal ($N$), perpendicular à superfície do plano inclinado.
     - Como não há atrito, não consideramos a força de atrito.

2. **Componentes das Forças:**
   - A força da gravidade pode ser decomposta em duas componentes:
     - Paralela ao plano inclinado: $mg \sin(\theta)$
     - Perpendicular ao plano inclinado: $mg \cos(\theta)$

3. **Trabalho Realizado por Cada Força:**
   - **Força da Gravidade:**
     - O trabalho realizado pela componente da força da gravidade paralela ao plano inclinado é dado por:
       $$
       W_{\text{gravidade}} = F_{\text{paralela}} \cdot d = mg \sin(\theta) \cdot d
       $$
       Substituindo os valores:
       $$
       W_{\text{gravidade}} = (6,0 \, \text{kg}) \cdot (9,8 \, \text{m/s}^2) \cdot \sin(60^\circ) \cdot (1,5 \, \text{m})
       $$
       $$
       W_{\text{gravidade}} = 6,0 \cdot 9,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1,5
       $$
       $$
       W_{\text{gravidade}} \approx 76,36 \, \text{J}
       $$

- **Força Normal:**
     - A força normal é perpendicular ao deslocamento, então o trabalho realizado pela força normal é zero:
       $$
       W_{\text{normal}} = 0
       $$

### Parte (b): Trabalho Total Realizado Sobre o Bloco

O trabalho total realizado sobre o bloco é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças. Como a única força que realiza trabalho é a componente da gravidade paralela ao plano:

$$
W_{\text{total}} = W_{\text{gravidade}} + W_{\text{normal}} = 76,36 \, \text{J} + 0 = 76,36 \, \text{J}
$$

### Parte (c): Rapidez do Bloco Após Ter Escorregado 1,5 m (Partindo do Repouso)

Usamos o teorema do trabalho-energia, que diz que o trabalho total realizado sobre o bloco é igual à variação da energia cinética:

$$
W_{\text{total}} = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2
$$

Como o bloco parte do repouso ($v_0 = 0$):

$$
W_{\text{total}} = \frac{1}{2} m v^2
$$

Substituindo os valores:

$$
76,36 = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \cdot v^2
$$

$$
v^2 = \frac{76,36 \cdot 2}{6,0}
$$

$$
v^2 \approx 25,45
$$

$$
v \approx 5,04 \, \text{m/s}
$$

### Parte (d): Rapidez do Bloco Após 1,5 m (Com Rapidez Inicial de 2,0 m/s)

Novamente, usamos o teorema do trabalho-energia, mas agora com uma velocidade inicial ($v_0 = 2,0 \, \text{m/s}$):

$$
W_{\text{total}} = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2
$$

Substituindo os valores:

$$
76,36 = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot 6,0 \cdot (2,0)^2
$$

$$
76,36 = 3,0 v^2 - 12
$$

$$
88,36 = 3,0 v^2
$$

$$
v^2 = \frac{88,36}{3,0}
$$

$$
v^2 \approx 29,45
$$

$$
v \approx 5,43 \, \text{m/s}
$$

Portanto, as respostas são:
- **(a)** Diagrama de corpo livre e trabalho realizado por cada força: $W_{\text{gravidade}} = 76,36 \, \text{J}$, $W_{\text{normal}} = 0$.
- **(b)** Trabalho total realizado sobre o bloco: $76,36 \, \text{J}$.
- **(c)** Rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m partindo do repouso: $5,04 \, \text{m/s}$.
- **(d)** Rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m com rapidez inicial de 2,0 m/s: $5,43 \, \text{m/s}$.

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