Uma roda com raio
$$r$$ gira livremente ao redor de seu eixo com velocidade angular inicial
$$\omega_\text i$$. Um ponto no aro da roda se move com uma velocidade escalar
$$v$$.
De repente, a roda acelera de modo que o ponto passa a se mover com uma velocidade escalar
$$2v$$. A velocidade angular final é
$$\omega_\text f$$.
Como se dá a variação da velocidade angular da roda?

Question

Uma roda com raio 
$$r$$ gira livremente ao redor de seu eixo com velocidade angular inicial 
$$\omega_\text i$$. Um ponto no aro da roda se move com uma velocidade escalar 
$$v$$.
De repente, a roda acelera de modo que o ponto passa a se mover com uma velocidade escalar 
$$2v$$. A velocidade angular final é 
$$\omega_\text f$$.
Como se dá a variação da velocidade angular da roda?

Accepted Answer

Para determinar a variação da velocidade angular da roda, precisamos relacionar a velocidade escalar de um ponto no aro da roda com a velocidade angular.

A velocidade escalar $ v $ de um ponto no aro da roda é dada pela relação:

$$ v = r \cdot \omega_\text{i} $$

Onde:
- $ v $ é a velocidade escalar inicial do ponto,
- $ r $ é o raio da roda,
- $ \omega_\text{i} $ é a velocidade angular inicial.

Quando a velocidade escalar do ponto passa a ser $ 2v $, temos:

$$ 2v = r \cdot \omega_\text{f} $$

Onde:
- $ \omega_\text{f} $ é a velocidade angular final.

Agora, substituímos $ v = r \cdot \omega_\text{i} $ na equação acima:

$$ 2(r \cdot \omega_\text{i}) = r \cdot \omega_\text{f} $$

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ r $:

$$ 2\omega_\text{i} = \omega_\text{f} $$

Portanto, a velocidade angular final é o dobro da velocidade angular inicial. A variação da velocidade angular da roda é:

$$ \Delta \omega = \omega_\text{f} - \omega_\text{i} = 2\omega_\text{i} - \omega_\text{i} = \omega_\text{i} $$

A variação da velocidade angular da roda é igual à velocidade angular inicial $ \omega_\text{i} $.